Question

（1）如图①，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，求∠EAF的度数．
（2）如图②，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AB=AD，点M，N是BD边上的任意两点，且∠MAN=45°，将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置，连接NH，试判断MN²，ND²，DH²之间的数量关系，并说明理由．
（3）在图①中，若EG=4，GF=6，求正方形ABCD的边长．

Answer 1

考点：几何变换综合题

专题：

分析：（1）先根据AG⊥EF得出△ABE和△AGE是直角三角形，再根据HL定理得出△ABE≌△AGE，故可得出∠BAE=∠GAE，同理可得出∠GAF=∠DAF，由此可得出结论；
（2）由旋转的性质得出∠BAM=∠DAH，再根据SAS定理得出△AMN≌△AHN，故可得出MN=HN．再由∠BAD=90°，AB=AD可知∠ABD=∠ADB=45°，根据勾股定理即可得出结论；
（3）设正方形ABCD的边长为x，则CE=x-4，CF=x-6，再根据勾股定理即可得出x的值．

解答：解：（1）在正方形ABCD中，∠B=∠D=90°，
∵AG⊥EF，
∴△ABE和△AGE是直角三角形．
在Rt△ABE和Rt△AGE中，

AB=AG AE=AE

，
∴△ABE≌△AGE（HL），
∴∠BAE=∠GAE．
同理，∠GAF=∠DAF．
∴∠EAF=∠EAG+∠FAG=

1

2

∠BAD=45°．

（2）MN²=ND²+DH²．
由旋转可知：∠BAM=∠DAH，
∵∠BAM+∠DAN=45°，
∴∠HAN=∠DAH+∠DAN=45°．
∴∠HAN=∠MAN．
在△AMN与△AHN中，

AM=AH ∠HAN=∠MAN AN=AN

，
∴△AMN≌△AHN（SAS），
∴MN=HN．
∵∠BAD=90°，AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=45°．
∴∠HDN=∠HDA+∠ADB=90°．
∴NH²=ND²+DH²．
∴MN²=ND²+DH²．

（3）由（1）知，BE=EG=4，DF=FG=6．
设正方形ABCD的边长为x，则CE=x-4，CF=x-6．
∵CE²+CF²=EF²，
∴（x-4）²+（x-6）²=10²．
解这个方程，得x₁=12，x₂=-2（不合题意，舍去）．
∴正方形ABCD的边长为12．

点评：本题考查的是几何变换综合题，涉及到三角形全等的判定与性质、勾股定理、正方形的性质等知识，难度适中．