Question

阅读材料：如图，△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两  腰的距离分别为，腰上的高为h，连结AP，则，即： ，（1）理解与应用

如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在    三角形内任一点”，即：已知边长为2的等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为，，，试证明：.

（2）类比与推理

边长为2的正方形内任意一点到各边的距离的和等于         ；

（3）拓展与延伸

若边长为2的正n边形A₁A₂…An内部任意一点P到各边的距离为，请问是否为定值（用含n的式子表示），如果是，请合理猜测出这个定值。

              

 

Answer 1

【答案】

（1）分别连接AP，BP，CP，由可证得，再求得等边三角形边的高为，即可.

（2）  4.

（3） 

【解析】（1）由条件可以求出边长为2的等边三角形的高为，连接PA，PB，PC，仿照面积的割补法，得出S_△PBC+S_△PAC+S_△PAB=S_△ABC，而这几个三角形的底相等，故化简后可得出高的关系．

（2）如图正方形过正方形内的任一点P向四边做垂线就可以求出到正方形四边的距离和为正方形边长的2倍，从而得出结论．

（3）问题转化为正n边形时，根据正n边形计算面积的方法，从中心向各顶点连线，可得出n个全等的等腰三角形，用边长2为底，边心距为高，可求正n边形的面积，然后由P点向正n多边形，又可把正n边形分割成n过三角形，以边长为底，以r₁、r₂、…、r_n为高表示面积，列出面积的等式，可求证r₁+r₂+…+r_n为定值．