Question

已知二次函数y=x²+ax+a-2，
（1）求证：无论a取什么实数，二次函数的图象都与x轴相交于两个不同的点；
（2）求a为何值时，使得二次函数的图象与x轴的两个交点之间的距离最小；
（3）若方程x²+ax+a-2=0的两根都大于-2小于2，求a的取值范围．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：（1）根据函数与方程的关系，求出△的值，若为正数，则此函数图象与x轴总有两个交点．
（2）设出二次函数图象与x轴的两交点横坐标，根据|x₁-x₂|=

△

，把第一问表示出的根的判别式代入，根据完全平方式的最小值为0，得到两交点距离的最小值．
（3）根据方程x²+ax+a-2=0的两根都大于-2小于2可知二次函数y=x²+ax+a-2的图象x=-2、x=2时，y＞0，再结合函数图象顶点的横坐标即可可求出a的取值范围．

解答：（1）证明：令y=0，得x²+ax+a-2=0
∵△=a²-4（a-2）=（a-2）²+4＞0，
∴不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点．


（2）解：设二次函数图象与x轴两交点的横坐标分别为x₁，x₂，
∵y=x²+ax+a-2是二次函数，
∴二次函数与x轴两交点的距离|x₁-x₂|=

△

=

(a-2)2+4

，
当且仅当a-2=0，即a=2时，|x₁-x₂|有最小值．

（3）解：根据二次函数y=y=x²+ax+a-2的图象和题设条件知：
当x=-2时，x²+ax+a-2＞0，有a＜2；①
当x=2时，x²+ax+a-2＞0，有a＞-

2

3

．②
因抛物线顶点的横坐标-

a

2

满足-2＜-

a

2

＜2，
则-4＜a＜4．③
所以a的取值范围为-

2

3

＜a＜2．

点评：本题考查的是抛物线与x轴的交点及根的判别式，解答此类题目的关键是把二次函数的图象与一元二次方程根的情况结合起来，利用数形结合解答．