Question

11．如图，在△ABC中，已知AB=9，BC=8，CA=7，AD为内角平分线，以AD为弦作一圆．该圆与BC相切，与AB交于M，与AC交于N，则BM+CN=4．

Answer 1

分析 利用面积方法证明：AB：AC=BD：DC，从而可求得BD、和DC的长，然后利用切割线定理可求得BM、CN的长，从而可求得MB+CN=4．

解答 解：过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点D作DG⊥AC，垂足为G．

∵AD是∠BAC的平分线，DED⊥AB，DG⊥AC，
∴DE=DG．
∴△ABD与△ADC的面积比=AB：AC=9：7．
又∵△ABD与△ADC的面积比=BD：DC．
∴BD：DC=9：7．
又∵BD+DC=8，
∴BD=$\frac{9}{2}$，DC=$\frac{7}{2}$．
由切割线定理可知：MB=$\frac{B{D}^{2}}{AB}=\frac{\frac{81}{4}}{9}$=$\frac{9}{4}$，NC=$\frac{D{C}^{2}}{AC}$=$\frac{\frac{49}{4}}{7}$=$\frac{7}{4}$．
∴MB+CN=$\frac{9}{4}+\frac{7}{4}$=$\frac{16}{4}$=4．
故答案为：4．

点评 本题主要考查的是角平分线的性质、切割线定理的应用，利用面积法得到BD：DC=9：7是解题的关键．