Question

关于X的方程x2-(k+1)+

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k2+1=0．
（1）若方程有两个实数根，求k的范围．
（2）当方程的两根是一个矩形两邻边的长且矩形的对角线长为

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时，求k的值．

Answer 1

分析：（1）由于X的方程x2-(k+1)+

1

4

k2+1=0，由此得到其判别式是非负数，这样就可以确定k的取值范围；
（2）设方程的两根为x₁，x₂，依题意x₁²+x₂²=

5

²，又根据根与系数的关系可以得到x₁+x₂=k+1，x₁•x₂=

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4

k²+1，而x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂，这样利用这些等式变形即可求解．

解答：解：（1）依题意△=[-（k+1）]²-4×1×（

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k²+1）=2k-3≥0，
∴k≥

3

2

；
（2）设方程的两根为x₁，x₂，
依题意x₁²+x₂²=（

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）²，
∵x₁+x₂=k+1，x₁•x₂=

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4

k²+1，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=（k+1）²-2（

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k²+1）=5，
整理得：k²+4k-12=0，
∴k=-6或k=2，
当k=-6时，x₁+x₂=k+1=-5＜0，舍去，
∴k=2．

点评：此题主要考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系，首先利用判别式是非负数确定k的取值范围，然后利用各与系数的关系确定k的值．