Question

2．如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y=-$\frac{1}{3}$x+b交y轴于点A（0，1），交x轴于点B，直线x=1交x轴于点E，其中P（1，n）是直线x=1上一动点．
（1）求直线AB的表达式和点B的坐标；
（2）如图1，当n=4时，过点P作PF⊥y轴于点F，连接PA，试说明△AOB≌△PFA；
（3）如图2，连接OP，BP．
①当n=$\sqrt{5}$时，判断△OBP的形状，并说明理由；
②是否存在实数n，使△OBP为直角三角形？若存在，求出n的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）把A的坐标代入直线AB的解析式，即可求得b的值，根据x轴上当的坐标特征求出点B的坐标；
（2）根据全等三角形的判定定理证明即可；
（3）①根据勾股定理分别求出PB、AP、OB的长，根据等腰三角形的判定定理解答；
②根据直角三角形的判定定理列出关于n的方程，解方程即可．

解答 解：（1）∵y=-$\frac{1}{3}$x+b经过A（0，1），
∴b=1，
∴直线AB的解析式是y=-$\frac{1}{3}$x+1，
当y=0时，-$\frac{1}{3}$x+1=0，
解得，x=3，
则点B的坐标为：（3，0）；
（2）当n=4时，AF=OF-OA=3，PF=OA=1，
在△AOB和△PFA中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=FP}\\{∠AOB=∠PFA}\\{OB=AF}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△PFA；
（3）①当n=$\sqrt{5}$时，
由勾股定理得，PB=$\sqrt{P{E}^{2}+B{E}^{2}}$=3，AP=$\sqrt{O{E}^{2}+P{E}^{2}}$=$\sqrt{6}$，
∴OB=PB，即△OBP是等腰三角形；
②当△OBP为直角三角形时，
由射影定理得，PE²=OE•BE，即n²=1×2，
解得，n=$±\sqrt{2}$，
则当n=$±\sqrt{2}$时，△OBP为直角三角形．

点评 本题考查的是待定系数法求函数解析式、全等三角形的判定、等腰三角形的判定以及直角三角形的判定，灵活运用待定系数法、掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．