Question

17．已知抛物线C₁：y=ax²-2amx+am²+2m+3（a＞0，m＜0）的顶点为A，将抛物线C₁绕点Q（-$\frac{1}{2}$，2），旋转180°得到抛物线C₂，抛物线C₂的顶点B在y轴上．
（1）求抛物线C₁的顶点坐标；（用m表示）
（2）若a=1，求抛物线C₂的解析式；
（3）若m=-1，E（1，3），F（2，4），是否存在a使抛物线C₁与线段EF有两个相异的交点？若存在，请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用配方法求抛物线C₁的顶点坐标；
（2）先设抛物线C₁的顶点为A，抛物线C₂的顶点为B，作辅助线，根据题意可知：点A与点B关于点Q成中心对称，由此求出点B的坐标，因为抛物线C₂的开口向下，所以a=-1，写出抛物线C₂的解析式；
（3）先求直线EF的解析式，列方程组，如果方程组有两个不相等的实数解，且满足1≤x≤2，则存在这样的a值，求出即可；经过计算发现其中有一个交点为（-1，1），不在线段EF上，所以不存在．

解答 解：（1）y=ax²-2amx+am²+2m+3，
=a（x²-2mx+m²）+2m+3，
=a（x-m）²+2m+3，
∴抛物线C₁的顶点坐标为：（m，2m+3）；
（2）如图1，设抛物线C₁的顶点为A，抛物线C₂的顶点为B，分别过A、Q作y轴的垂线，垂足分别为E、F，则QF∥AE，
∵抛物线C₁绕点Q（-$\frac{1}{2}$，2），旋转180°得到抛物线C₂，
∴抛物线C₁与抛物线C₂关于点Q成中心对称，
即点A与点B关于点Q成中心对称，
∴AQ=BQ，
∴QF中△ABE的中位线，
∴AE=2QF，
∵Q（-$\frac{1}{2}$，2），
∴QF=$\frac{1}{2}$，
∴AE=1，
∵A（m，2m+3），m＜0；
∴m=-1，2m+3=1，
∴A（-1，1），
∵OF=2，OE=1，
∴OB=3，
∴B（0，3），
∴抛物线C₂的解析式为：y=-ax²+3，即y=-x²+3；
（3）设直线EF的解析式为：y=kx+b，
把E（1，3），F（2，4）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{k+b=3}\\{2k+b=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴线段EF的解析式为：y=x+2（1≤x≤2），
当m=-1时，y=ax²+2ax+a+1，
则$\left\{\begin{array}{l}{y=a{x}^{2}+2ax+a+1}\\{y=x+2}\end{array}\right.$，
ax²+2ax+a+1=x+2，
ax²+（2a-1）x+a-1=0，
△=（2a-1）²-4a（a-1）=4a²-4a+1-4a²+4a=1，
x=$\frac{1-2a±1}{2a}$，
x₁=-1，x₂=$\frac{2-2a}{2a}$=$\frac{1-a}{a}$，
当x=-1时，y=1，
∵（-1，1）这个交点不在线段EF上，所以抛物线C₁与线段EF最多有一个交点，
故当m=-1时抛物线C₁与线段EF不存在两个相异的交点．

点评 本题是二次函数的综合题，考查了字母系数的二次函数，利用配方法求顶点坐标，也可以利用公式：（-$\frac{b}{2a}$，$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$）代入计算；与方程组结合可以求两函数的交点坐标，同时根据根的判别式可以判断其交点的个数．