Question

19．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，延长CB至点F，使CF=CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M．
（1）求证：BN=BF；
（2）求证：CN=$\sqrt{2}$CM；
（3）若正方形ABCD的边长为$\sqrt{2}$，求OM的长．

Answer 1

分析 （1）先利用等腰三角形的性质得出CE⊥AF，再利用互余得出∠BAF=∠BCN，进而△BCN≌△BAF即可；
（2）设出正方形的边长为m，利用相似三角形的性质表示出BN，进而得出结论；
（3）借助（2）得出的结论和正方形的性质表示出DM，进而表示出OM最后将正方形的边长代入即可求出OM．

解答 解：（1）在正方形ABCD中，∠ABC=∠ABF=90°，BC=AB，
∵CF=CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，
∴CE⊥AF，
∴∠BAF+∠ANE=90°，
∵∠ANE=∠BNC，
∴∠BAF+∠BNC=90°，
∵∠BCN+∠BNC=90°，
∴∠BAF=∠BCN，
在△BCN和△BAF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BCN=∠BAF}\\{BC=AB}\\{∠CBN=∠FBA}\end{array}\right.$，
∴△BCN≌△BAF，
∴BN=BF
（2）设正方形的边长为m，则BD=AC=$\sqrt{2}$m，
∵AC=CF=BC+BF=m+BF=$\sqrt{2}$m，
∴BN=BF=（$\sqrt{2}$-1）m，
∵BN∥CD，
∴$\frac{MN}{CM}=\frac{BN}{CD}$=$\frac{（\sqrt{2}-1）m}{m}$=$\sqrt{2}$-1，
∴$\frac{MN+CM}{CM}=\frac{\sqrt{2}-1+1}{1}$=$\sqrt{2}$，
∴CN=$\sqrt{2}$CM，
（3）∵BN∥CD，
∴$\frac{BM}{DM}=\frac{BN}{CD}$=$\sqrt{2}$-1，
∴BM=（$\sqrt{2}$-1）DM，
∵BM+DM=BD=$\sqrt{2}$m，
∴DM=m，
∵点O是正方形的对角线的交点，
∴OD=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$m，
∵正方形的边长为$\sqrt{2}$，
∴m=$\sqrt{2}$，
∴OM=DM-OD=m-$\frac{\sqrt{2}}{2}$m=$\sqrt{2}$-1．

点评 此题是四边形的综合题，主要考查了正方形的性质，等角的余角相等，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，解本题的关键是△BCN≌△BAF，
难点是用代数的方法解决几何问题．