Question

如图，已知反比例函数y=

2

x

的图象与正比例函数y=kx的图象交于点A（m，-2）．
（1）求正比例函数的解析式及两函数图象另一个交点B的坐标；
（2）试根据图象写出不等式

2

x

≥kx的解集；
（3）在反比例函数图象上是否存在点C，使△OAC为等边三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：代数综合题,数形结合

分析：（1）把点A的坐标代入y=

2

x

求出m的值，再运用A的坐标求出k，两函数解析式联立得出B点的坐标．
（2）把k的值代入不等式，讨论当a＞0和当a＜0时分别求出不等式的解．
（3）讨论当C在第一象限时，△OAC不可能为等边三角形，当C在第三象限时，根据OA=OC，求出点C的坐标，再看AC的值看是否构成等边三角形．

解答：解：（1）把A（m，-2）代入y=

2

x

，得-2=

2

m

，
解得m=-1，
∴A（-1，-2）代入y=kx，
∴-2=k×（-1），解得，k=2，
∴y=2x，
又由2x=

2

x

，得x=1或x=-1（舍去），
∴B（1，2），
（2）∵k=2，
∴

2

x

≥kx为

2

x

≥2x，
根据图象可得：当x≤-1和0＜x≤1时，反比例函数y=

2

x

的图象恒在正比例函数y=2x图象的上方，即

2

x

≥2x．
（3）①当点C在第一象限时，△OAC不可能为等边三角形，
②如图，当C在第三象限时，要使△OAC为等边三角形，则OA=OC，设C（t，

2

t

）（t＜0），

∵A（-1，-2）
∴OA=

5

∴t²+

4

t2

=5，则t⁴-5t²+4=0，
∴t²=1，t=-1，此时C与A重合，舍去，
t²=4，t=-2，∴C（-2，-1），而此时AC=

2

，AC≠AO，
∴不存在符合条件的点C．

点评：本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是求出点C的坐标，看是否构成等边三角形．