Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC上运动（点E不与A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF，在运动变化过程中，有下列结论：
①△DEF是等腰三角形；
②四边形CEDF不可能是正方形；
③四边形CEDF的面积随点E位置改变而发生变化；
④点C到线段EF的最大距离为

2

；
⑤AE²+BF²=EF²；
⑥EF=

2

DF．
其中结论正确的是

 

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,勾股定理,等腰直角三角形

专题：

分析：①作常规辅助线连接CD，由SAS定理可证△CDF和△ADE全等，从而可证∠EDF=90°，DE=DF．所以△DFE是等腰直角三角形；进一步得出⑥正确；
②当E为AC中点，F为BC中点时，四边形CEDF为正方形；
③由割补法可知，四边形CEDF的面积保持不变；
④△DEF是等腰直角三角形，

2

DE=EF，当DF与BC垂直，即DF最小时，FE取最小值2

2

，此时点C到线段EF的最大距离；
⑤由AC=BC，AE=CF，得出CE=BF，进一步由勾股定理得出AE²+BF²=EF²．

解答：解：①连接CD；
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB；
在△ADE和△CDF中

CD=AD ∠DCB=∠A AE=CF

∴△ADE≌△CDF（SAS）；
∴ED=DF，∠CDF=∠EDA；
∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，
∴△DFE是等腰直角三角形．（故①正确）；
∴EF=

2

DF．（故⑥正确）；

②当E、F分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形（故②错误）；

③如图2所示，分别过点D，作DM⊥AC，DN⊥BC，于点M，N，
可以利用割补法可知四边形CEDF的面积等于正方形CMDN面积，故面积保持不变（故③错误）；

④△DEF是等腰直角三角形，

2

DE=EF，
当EF∥AB时，∵AE=CF，
∴E，F分别是AC，BC的中点，
故EF是△ABC的中位线，
∴EF取最小值

22+22

=2

2

，
∵CE=CF=2，
∴此时点C到线段EF的最大距离为

1

2

EF=

2

．（故④正确）；

⑤∵AC=BC，AE=CF，
∴CE=BF，
由勾股定理得：CE²+CF²=EF²．
∴AE²+BF²=EF²．（故⑤正确）
故正确的有①④⑤⑥共4个．
故答案为：①④⑤⑥．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及正方形、等腰三角形、直角三角形性质以及勾股定理等知识．