Question

12．已知：点A（0，4），B（0，-6），C为x轴正半轴上一点，且满足∠ACB=45°，则点C坐标为（12，0）．

Answer 1

分析 构造含有90°圆心角的⊙P，则⊙P与x轴的交点即为所求的点C．根据△PBA为等腰直角三角形，可得OF=PE=5，根据勾股定理得：CF=$\sqrt{P{C}^{2}-P{F}^{2}}$=7，进而得出OC=OF+CF=5+7=12，即可得到点C坐标为（12，0）．

解答 解：设线段BA的中点为E，
∵点A（0，4），B（0，-6），
∴AB=10，E（0，-1）．
如图所示，过点E在第四象限作EP⊥BA，且EP=$\frac{1}{2}$AB=5，则
易知△PBA为等腰直角三角形，∠BPA=90°，PA=PB=5$\sqrt{2}$；
以点P为圆心，PA（或PB）长为半径作⊙P，与y轴的正半轴交于点C，
∵∠BCA为⊙P的圆周角，
∴∠BCA=$\frac{1}{2}$∠BPA=45°，即则点C即为所求．
过点P作PF⊥x轴于点F，则OF=PE=5，PF=OE=1，
在Rt△PFC中，PF=1，PC=5$\sqrt{2}$，
由勾股定理得：CF=$\sqrt{P{C}^{2}-P{F}^{2}}$=7，
∴OC=OF+CF=5+7=12，
∴点C坐标为（12，0），
故答案为（12，0）．

点评 本题主要考查了坐标与图形性质、圆周角定理、勾股定理等知识的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造圆周角以及直角三角形，由45°的圆周角联想到90°的圆心角是解题的突破口，也是本题的难点所在．