模型建立:如图1.等腰直角三角形ABC中.∠ACB=90°.CB=CA.直线ED经过点C.过A作AD⊥ED于D.过B作BE⊥ED于E．(1)求证:BE=CD,(2)模型应用:①已知直线l1:y=-$\frac{1}{7}$x-4与y轴交于A点.将直线l1绕着A点顺时针旋转45°至l2.如图2.求l2的函数解析式,②如图3.矩形ABCO.O为坐标原点.B的坐标为.A.C分别在坐� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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4．模型建立：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．
（1）求证：BE=CD；
（2）模型应用：
①已知直线l₁：y=-$\frac{1}{7}$x-4与y轴交于A点，将直线l₁绕着A点顺时针旋转45°至l₂，如图2，求l₂的函数解析式；
②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（-8，6），A、C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，点D是直线y=-2x-4上的一点，若△APD是不以点A为直角顶点的等腰Rt△，请求出点D的坐标．

分析（1）先根据△ABC为等腰直角三角形得出CB=CA，再由AAS定理可知△ACD≌△CBE；
（2）①如图2中，设直线l₁交x轴于B，作BP⊥AC于P，作PE⊥OB于E，PF⊥y轴于F．首先证明四边形PEOF是正方形，求出点P的坐标，利用待定系数法即可解决问题．
（3）当点D为直角顶点，分点D在直线PA的上方或下方两种情况；点P为直角顶点，显然此时点D位于直线AP的上方，由此可得出结论．

解答（1）证明：如图1中，

∵△ABC为等腰直角三角形，
∴CB=CA，∠ACD+∠BCE=90°，
又∵AD⊥ED，BE⊥ED，
∴∠D=∠E=90°，∠EBC+∠BCE=90°，
∴∠ACD=∠EBC，
在△ACD与△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠E}\\{∠ACD=∠EBC}\\{CA=CB}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△CBE（AAS）；

（2）①如图2中，设直线l₁交x轴于B，作BP⊥AC于P，作PE⊥OB于E，PF⊥y轴于F．

由（1）可知△PBE≌△PAF，
∴BE=AF，PE=PF，设PE=PF=x，
∵∠PEO=∠EOF=∠PFO=90°，
∴四边形PEOF是矩形，
∵PE=PF，
∴四边形PEOF是正方形，
∴OE=OF=x，
∵B（-28，0），A（0，-4），
∴x+4+x=28，
∴x=12，
∴P（-12，12），设直线l₂的解析式为y=kx+b则有$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{-12k+b=12}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
∴直线l₂的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x-4．

②如图3中，

当点D位于直线y=-2x-4上时，分两种情况：
①点D为直角顶点，分两种情况，
当点D′在直线PA上方时，过D′作x轴的平行线EF，交直线OA于F，交直线BC于E，设D′（x，-2x-4）；
则OF=-2x-4，AF=（-2x-4）-6=-2x-10，D′E=EF-D′F=x+8；
则△AD′F≌△D′PE，得D′E=AF，即：
-2x-10=x+8，x=-6；
∴D′（-6，8）；
当点D在直线PA下方时，同法可得D（-2，0）
②如图4中，点P为直角顶点，显然此时点D″位于矩形AOCB的外部，作D″E⊥BC于E．

设点D（x，-2x-4），则CE=-2x-4，BE=-2x-4-6=-2x-10；
同（1）可得，△APB≌△PDF，
∴AB=PE=8，PB=D″E=-8-x；
∴BE=PE-PB=8-（-8-x）=16+x；
联立两个表示BF的式子可得：
-2x-10=16+x，即x=-$\frac{26}{3}$；
∴D″（-$\frac{26}{3}$，$\frac{40}{3}$）；
综上所述，满足条件的点D的坐标为（-6，8）或（-2，0）或（-$\frac{26}{3}$，$\frac{40}{3}$）．

点评本题属于一次函数综合题，主要考查了点的坐标、矩形的性质、待定系数法、等腰直角三角形的性质以及全等三角形等相关知识的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行计算，需要考虑的多种情况，解题时注意分类思想的运用．

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