Question

已知一个二次函数的图象经过A（4，-3），B（2，1）和C（-1，-8）三点．
（1）求这个二次函数的解析式以及它的图象与x轴的交点M，N（M在N的左边）的坐标．
（2）若以线段MN为直径作⊙G，过坐标原点O作⊙G的切线OD，切点为D，求OD的长．
（3）求直线OD的解析式．
（4）在直线OD上是否存在点P，使得△MNP是直角三角形？如果存在，求出点P的坐标（只需写出结果，不必写出解答过程）；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）设所求的二次函数的解析式为y=ax²+bx+c，∵抛物线经过A（4，-3），B（2，1）和C（-1，-8）三点，
∴解之，得
∴抛物线为y=-x²+4x-3，令y=0，得-x²+4x-3=0，解得x₁=1，x₂=3．
∴抛物线与x轴的交点坐标为M（1，0），N（3，0）．

（2）过原点O作⊙G的切线，切点为D．易知OM=1，ON=3．由切割线定理，得OD²=OM•ON=1×3．
∴OD=，即所求的切线OD长为．

（3）如右图，连接DG，则∠ODG=90°，DG=1．∵OG=2，∴∠DOG=30°．
过D作DE⊥OG，垂足为E，则DE=OD•sin30°=，DE=OD•cos30°=．
∴点D的坐标为D（，）或（，-）．从而直线OD的解析式为y=±x．

（4）Ⅰ、当点P在x轴上方时；
①点M是直角顶点，此时MP1⊥x轴，即M、P1的横坐标相同；
当x=1时，y=x=；
即 P₁（1，）；
②当点P是直角顶点时，由（2）知，P₂、D重合，即P₂（，）；
③当点N是直角顶点，同①可求得 P₃（3，）．
Ⅱ、当点P在x轴下方时，同Ⅰ可知：P₄（1，-），P₅（，-），P₆（3，-）．
综上，在直线OD上存在点P，使△MNP是直角三角形．所求P点的坐标为（1，±），或（3，±），或（，±）．
分析：（1）已知函数图象上三个不同点的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；再令函数值为0，就能求出点M、N的坐标（注意它们的位置）．
（2）在（1）题中，已经求得了M、N的坐标，则线段OM、ON的长可知，直接利用切割线定理即可求出OD的长．
（3）利用待定系数法求直线OD的解析式，必须先求出点D的坐标；连接圆心和切点，过点D作x轴的垂线OE（垂足为E），首先由半径长和OD的长求出∠DOG的度数，然后在Rt△ODE中，通过解直角三角形求出DE、OE的长，则点D的坐标可知，由此得解（需要注意的是：点D可能在x轴上方，也可能在x轴下方，所以直线OE的解析式应该有两个）．
（4）在（3）中，已经知道共有两条直线OD，所以要分两种大的情况讨论，它们的解答方法是一致的，以点P在x轴上方为例进行说明：
①当点M是直角顶点时，MP所在直线与x轴垂直，即M、P的横坐标相同，直接将点M的横坐标代入直线OD的解析式中即可得到点P的坐标；
②当点P是直角顶点时，由圆周角定理知：（2）题的切点D正好符合点P的条件；
③当点N是直角顶点时，方法同①．
点评：此题是几何与代数知识的综合运用，在考查常规知识的同时，结合圆的对称性等渗透了分类讨论思想．解答（3）（4）问时，解题者常拘泥于习惯性思维，只考虑到在x轴上方的切线OD和以P为直角顶点的Rt△MNP这些常见情形，从而导致丢解．作为压轴题，本题（4）问显示出了层次性，由易到难，逐步深入，体现了命题者的匠心．