Question

6．如图，直线y=-x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在x轴上，且BC=BA，过C的直线与y轴交于点D，与线段AB交于点E．求使△OCD与△BDE面积相等时的直线CE的解析式．

Answer 1

分析 三角形AOB和三角形ACE的面积相等，根据面积公式求出E的纵坐标，代入直线AB的解析式，求出E的横坐标，设直线CE的解析式是：y=mx+n，把E、C的坐标代入得出方程组，求出方程组的解即可．

解答 解：∵直线y=-x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（2，0），B（0，2），
∴OA=OB=2，
∵BC=BA，
∴OC=2，
∴C（-2，0），
∵S_△COD=S_△BDE，
∴S_△COD+S_{四边形AODE}=S_△BDE+S_{四边形AODE}，
即S_△ACE=S_△AOB，
∵点E在线段AB上，
∴点E在第一象限，且y_E＞0，
∴$\frac{1}{2}$×AC×y_E=$\frac{1}{2}$×OA×OB，
∴$\frac{1}{2}$×4×y_E=$\frac{1}{2}$×2×2，
y_E=1，
把y=1代入直线AB的解析式得：1=-x+2，
∴x=1，
设直线CE的解析式是：y=mx+n，
∵C（-2，0），E（1，1）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-2m+n=0}\\{m+n=1}\end{array}\right.$，
解得：m=$\frac{1}{3}$，n=$\frac{2}{3}$，
∴直线CE的解析式为y=$\frac{1}{3}$x+$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了等腰三角形的性质，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积等知识点，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键，此题题型较好，综合性比较强，但难度适中，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力．