Question

17．如图，△ABC中，AH⊥BC，BF平分∠ABC，BE⊥BF，EF∥BC，以下四个结论：①∠E=∠ABE；②∠ADF-∠BAH=$\frac{1}{2}$∠ABC；③∠ADF=∠AFD；④S_△ABF=$\frac{FM•AH}{2}$．其中正确的有（　　）

• A． ①②③
• B． ①②④
• C． ①③④
• D． ②③④

Answer 1

分析 ①由BE⊥BF知∠1+∠ABE=90°，∠E+∠3=90°，EF∥BC知∠3=∠2，BF平分∠ABC，∠1=∠2，从而得到∠1=∠3，故∠E与∠ABE相等；
②由∠ADF=∠1+∠BAH，BF平分∠ABC，可得，∠1=∠2=$\frac{1}{2}$∠ABC，故∠ADF-∠BAH=$\frac{1}{2}$∠ABC正确；
③由∠ADF=∠BAH+∠1，∠AFD=∠3+∠AFM，由EF∥BC知∠3=∠2，BF平分∠ABC，∠1=∠2，又由∠BAH+∠DAF＜90°，∠DAF+∠AFM=90°，则∠BAH＜∠AFM，从而可得∠ADF＜∠AFD；
④因为S_△ABF=S_△AMF+S_△BMF，而以MF为底边，△AMF和△BMF的高之和等于AH，从而可得S_△ABF=$\frac{FM•AH}{2}$正确．

解答 解：如图所示，∵BE⊥BF，
∴∠1+∠ABE=90°，∠E+∠3=90°．
又∵BF平分∠ABC，
∴∠1=∠2．
∵EF∥BC，
∴∠3=∠2．
∴∠1=∠3．
∴∠E=∠ABE．（故①正确）
∵∠ADF=∠1+∠BAH，
∴∠ADF-∠BAH=∠1．
又∵BF平分∠ABC，
∴∠1=∠2=∠ABC．
∴∠ADF-∠BAH=$\frac{1}{2}$∠ABC．（故②正确）
∵∠ADF=∠BAH+∠1，∠AFD=∠3+∠AFM，BF平分∠ABC，EF∥BC，
∴∠1=∠2=∠3．
又∵AH⊥BC，
∴∠BAH+∠DAF＜90°，∠DAF+∠AFM=90°．
∴∠BAH＜∠AFM．
即∠ADF＜∠AFD．（故③错误）
∵S_△ABF=S_△AMF+S_△BMF，设△AMF与△BMF以MF为底，底边上的高分别为h₁，h₂，
∴${S}_{△AMF}=\frac{MF×{h}_{1}}{2}，{S}_{△BMF}=\frac{MF×{h}_{2}}{2}$．
∵h₁+h₂=AH，
∴${S}_{△AMF}=\frac{MF×AH}{2}$．（故④正确）
故选项A错误，选项B正确，选项C错误，选项D错误．
故选A．

点评 此题主要考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义，三角形的外角和不相邻内角的关系，关键是根据题目中信息，灵活变化，判断结论是否正确，从而得到问题的答案．