Question

9．如图，将正方形ABCD中的△ABP绕点B顺时针旋转到△CBP′的位置，且BP=2，AP=1．
（1）求PP′的长；
（2）连CP，若CP=3，求∠APB的度数．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质得到∠ABC=90°，再根据旋转的性质得∠PBP′=∠ABC=90°，PB=P′B=2，则△PBP′为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求解；
（2）首先利用勾股定理的逆定理证明△PCP'是直角三角形，求得∠PP'C=90°，然后根据△BPP'是等腰直角三角形，求得∠BP'C的度数，则∠APB即可求得．

解答 解：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC=90°，
∵△ABP绕点B顺时针方向旋转能与△CBP′重合，
∴∠PBP′=∠ABC=90°，PB=P′B=2，
∴△PBP′为等腰直角三角形，
∴PP′=2PB=2$\sqrt{2}$；
（2）∵P'C=AP=1，
又∵1²+（2$\sqrt{2}$）²=3²，即PC²+P'C²=PP'²，
∴△PCP'是直角三角形，∠PP'C=90°，
又∵△BPP'是等腰直角三角形，
∴∠BP'P=45°，
∴∠BP'C=45°+90°=135°，
∴∠APB=∠BP'C=135°．

点评 本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了正方形与等腰直角三角形性质．