Question

4．如图，正方形ABCD中，AB=3，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF．下列结论：
①点G是BC中点；②FG=FC；③EF=FC；④∠GAE=45°；⑤S_△FGC=$\frac{9}{10}$．
其中正确的有（　　）

• A． 2个
• B． 3个
• C． 4个
• D． 5个

Answer 1

分析 在直角三角形EGC中，根据勾股定理可证BG=CG，通过证明∠ABG+∠AGF=2∠AGB=180°-∠FGC=∠GFC+∠GCF=2∠GCF，可证CF∥AG，根据平行线的性质可证∠AGB=∠GCF≠60°，即可证得FG≠FC，根据∠FEC+∠FGC=90°，∠FCE+∠FCG=90°，∠FGC≠∠FCG，可知∠FEC≠FCE，证得EF≠FC，根据∠BAG+∠DAE=∠FAG+∠FAE=∠GAE，∠BAG+∠DAE+∠GAE=90°，即可证得∠GAE=45°，由S_△GFC：S_△FCE=$\frac{3}{2}$：1=3：2，S_△GCE=$\frac{1}{2}$GC•CE=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×2=$\frac{3}{2}$，即可求得S_△FGC=$\frac{3}{5}$×$\frac{3}{2}$=$\frac{9}{10}$．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=AB=3，
∵CD=3DE，
∴DE=1，
∴EF=DE=1，
∴EC=2，
在RT△ABG和RT△AFG中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AF}\\{AG=AG}\end{array}\right.$
∴RT△ABG≌RT△AFG（HL），
∴BG=FG，
设BG=FG=x，则CG=3-x，
在RT△ECG中，EG²=CG²+CE²，
即（x+1）²=（3-x）²+2²，解得x=$\frac{3}{2}$，
∴BG=$\frac{3}{2}$=3-$\frac{3}{2}$=CG，
∴G是BC中点；故①正确；
∵GF=GC，
∴∠GCF=∠GFC，
∵RT△ABG≌RT△AFG，
∴∠AGB=∠AGF，
∴∠ABG+∠AGF=2∠AGB=180°-∠FGC=∠GFC+∠GCF=2∠GCF，
∴∠AGB=∠GCF，
∴CF∥AG，
∵tan∠AGB=$\frac{AB}{BG}$=2，
∴∠AGB≠60°，
∴∠GCF≠60°，
∴△GCF不是等边三角形，
∴FG≠FC，故②错误；
∵∠FEC+∠FGC=90°，∠FCE+∠FCG=90°，∠FGC≠∠FCG，
∴∠FEC≠FCE，
∴EF≠FC，故③错误；
∵RT△ABG≌RT△AFG，
∴∠BAG=∠FAG，
∵∠DAE=∠FAE，
∴∠BAG+∠DAE=∠FAG+∠FAE=∠GAE，
∵∠BAG+∠DAE+∠GAE=90°，
∴∠GAE=45°，故④正确；
∵S_△GCE=$\frac{1}{2}$GC•CE=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×2=$\frac{3}{2}$，
∵GF=$\frac{3}{2}$，EF=1，
∴S_△GFC：S_△FCE=$\frac{3}{2}$：1=3：2，
∴S_△FGC=$\frac{3}{5}$×$\frac{3}{2}$=$\frac{9}{10}$，故⑤正确；
正确的个数有①④⑤；
故选B．

点评 本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定，解直角三角形等，熟练掌握性质定理是解题的关键．