Question

7．如图，在△ABC中，∠B=2∠C，点D在BC边上，且AD⊥AC，求证：CD=2AB．

Answer 1

分析 取CD的中点E，连接AE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AE=CE=$\frac{1}{2}$CD，根据等边对等角可得∠C=∠CAE，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AEB=2∠C=∠B，根据等角对等边可得AE=AB，即可得证．

解答 证明：如图，取CD的中点E，连接AE，
∵AD⊥AC，
∴AE=CE=$\frac{1}{2}$CD，
∴∠C=∠CAE，
∴∠AEB=∠C+∠CAE=2∠C，
∵∠B=2∠C，
∴∠AEB=∠B，
∴AE=AB，
∴AB=$\frac{1}{2}$CD，
∴CD=2AB．

点评 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的判定与性质，作辅助线利用性质并构造出等腰三角形是解题的关键．