Question

7．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则内心I与重心G之间的距离IG=$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 构造如图所示的坐标系，从而可求得点M，N的坐标，然后求得直线CN与BM的解析式，从而可解得点G的坐标，然后三角形的内圆的性质求得点I的坐标，最后利用两点之间的距离公式可求得IG的长度．

解答 解：构造如图所示的平面直角坐标系．

∵BM、CN是三角形的中线，
∴点M的坐标的为（2，0），点N的坐标为（2，1.5）．
∴直线CN的解析式为y=$\frac{4}{3}x$，直线MB的解析式为y=$-\frac{2}{3}x+2$．
将y=$\frac{4}{3}x$与y=$-\frac{2}{3}x+2$联立．
解得：x=1，y=$\frac{4}{3}$．
∵∠C=90°，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5．
设圆I的半径为r．则$\frac{1}{2}×（3+4+5）r$=$\frac{1}{2}×3×4$．
解得r=1．
∴点I的坐标为（1，1）．
∴GI=$\frac{4}{3}-1$=$\frac{1}{3}$．
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 本题主要考查的是三角形的内心和重心，一次函数的解析式、解二元一次方程组，根据题意构造如图所示的坐标系是解题的关键．