Question

14．某市对位于笔直公路AC上两个小区A、B的供水路线进行优化改造．供水站M在笔直公路AD上，测得供水站M在小区A的南偏东60°方向，在小区B的西南方向，小区A、B之间的距离为6米，求供水站M分别到小区A、B的距离．（结果保留根号）

Answer 1

分析 根据题意，在△ABM中，∠BAM=30°，∠ABM=45°，AB=6米．过点M作MN⊥AB于N，设MN=x米，用含x的代数式分别表示AN，BN，根据AN+BN=AB建立方程，解方程求出x的值，进而求出MA与MB的长．

解答 解：过点M作MN⊥AB于N，设MN=x米．
∵在Rt△AMN中，∠ANM=90°，∠MAN=30°，
∴MA=2MN=2x，AN=$\sqrt{3}$MN=$\sqrt{3}$x．
∵在Rt△AMN中，∠BNM=90°，∠MBN=45°，
∴BN=MN=x，MB=$\sqrt{2}$MN=$\sqrt{2}$x．
∵AN+BN=AB，
∴$\sqrt{3}$x+x=6，
∴x=3（$\sqrt{3}$-1），
∴MA=2x=6$\sqrt{3}$-6，MB=$\sqrt{2}$x=3$\sqrt{6}$-3$\sqrt{2}$．
故供水站M到小区A的距离是（6$\sqrt{3}$-6）米，到小区B的距离是（3$\sqrt{6}$-3$\sqrt{2}$）米．

点评 本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，“化斜为直”是解三角形的基本思路，常需作垂线（高），原则上不破坏特殊角（30°、45°、60°）．