Question

9．如图，已知在矩形ABCD，AB=1，点M在对角线AC上，4AM=AC，直线l过点M且与AC垂直，与边AD相交于点E．
（1）如果AD=$\sqrt{3}$，求证：点B在直线l上；
（2）如果直线l与BC相交于点H，直线l把矩形分成两部分的面积比为2：7，求AD的长；
（3）如果直线l分别与边AD、边AB相交于点E、G．
①设AD的长为x，指出x的取值范围；
②当直线l把矩形分成为两部分的面积之比为1：6时，AE的长是多少？

Answer 1

分析 （1）先根据勾股定理求出AC的长，再由锐角三角函数的定义得出∠BAC的度数，设l与AB交于点B′，根据直角三角形的性质可得出结论；
（2）设AE=x，则CH=3x，则x+DE=3x+BH，由S_{四边形BHEA}：S_{四边形HCDE}=2：7可得出DE=$\frac{13}{5}$x，BH=$\frac{3}{5}$x，AD=$\frac{18}{5}$x，过点M作MG⊥HC，则MG∥AB，在Rt△CMN中，MG⊥CH，由射影定理得得出x的值，进而得出结论；
（3）①根据l过点B时AD最长，过点D时AD最短即可得出结论；
②设AE=a，BC=x，过点M作MQ⊥BC于点Q，由（2）得，MQ=$\frac{3}{4}$，CQ=$\frac{3}{4}$x，HC=3a，HQ=3a-$\frac{3}{4}$x，由射影定理得，$\frac{3}{4}$x•（3a-$\frac{3}{4}$x）=$\frac{9}{16}$①，再根据AE∥BC可得出$\frac{a}{3a-x}$=$\frac{AG}{1-AG}$②，两式联立可得出a的值，进而得出结论．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°．
∵BC=AD=$\sqrt{3}$，AB=1，
∴AC=2，
∴tan∠BAC=$\frac{BC}{AB}$=$\sqrt{3}$，
∴∠BAC=60°．
∵AM=$\frac{1}{4}$AC=$\frac{1}{2}$，设l与AB交于点B′，则在Rt△AB′M中，∠AB′M=30°，
∴AB′=2AM=1=AB，
∴B′与B重合，即点B在直线l上；

（2）如图1，∵AD∥BC，
∴$\frac{AE}{CH}$=$\frac{AM}{MC}$=$\frac{1}{3}$．
设AE=x，则CH=3x，则x+DE=3x+BH①，
∵S_{四边形BHEA}：S_{四边形HCDE}=2：7，
∴$\frac{\frac{1}{2}（AE+BH）×1}{\frac{1}{2}（CH+DE）×1}$=$\frac{2}{7}$，即7BH+x=2DE②，
由①②得，DE=$\frac{13}{5}$x，BH=$\frac{3}{5}$x，AD=$\frac{18}{5}$x，
过点M作MG⊥HC，则MG∥AB，
∴$\frac{MG}{AB}$=$\frac{CM}{AC}$=$\frac{CG}{BC}$=$\frac{3}{4}$，
∴MG=$\frac{3}{4}$，CG=$\frac{27}{10}$x，CH=3x-$\frac{27}{10}$x=$\frac{3}{10}$x，
在Rt△CMN中，MG⊥CH，由射影定理得，MG²=HG•CG，即$\frac{9}{16}$=$\frac{3}{10}$x•$\frac{27}{10}$x，解得x=$\frac{5}{6}$，
∴AD=$\frac{18}{5}$×$\frac{5}{6}$=3．

（3）①如图2，当l过点B时，由射影定理，AB²=AM•AC，即1=AM•4AM，可得AM=$\frac{1}{2}$，AC=4×$\frac{1}{2}$=2，AD=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$；
当l过点D时，由射影定理，CD²=AC•CM′，即1=4AM•3AM，可得AM′=$\sqrt{\frac{1}{12}}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，AC=4×$\frac{\sqrt{3}}{6}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，AD=$\sqrt{{（\frac{2\sqrt{3}}{3}）}^{2}-{1}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤x≤$\sqrt{3}$．
②如图2，设AE=a，BC=x，过点M作MQ⊥BC于点Q，由（2）得，MQ=$\frac{3}{4}$，CQ=$\frac{3}{4}$x，HC=3a，HQ=3a-$\frac{3}{4}$x，
由射影定理得，$\frac{3}{4}$x•（3a-$\frac{3}{4}$x）=$\frac{9}{16}$，整理得，x²-4ax=1①，
∵S_矩形ABCD=AB•BC=x，
∴S_△AGE=$\frac{1}{7}$x．
∵AE∥BC，
∴$\frac{AE}{BH}$=$\frac{AG}{BG}$，即$\frac{a}{3a-x}$=$\frac{AG}{1-AG}$，整理得AG=$\frac{a}{4a-x}$，
∴$\frac{1}{2}$×$\frac{a}{4a-x}$×a=$\frac{1}{7}$x，
∴7a²=8ax-2x²，
∴x²-4ax=-$\frac{7}{2}$a²②，
由①②得，$\frac{7}{2}$a²=1，解得a=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题考查的是四边形综合题，涉及到射影定理、矩形的性质及直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，再利用射影定理求解是解答此题的关键．