Question

4．如图，△ABC中AB=AC，BC=6，点D是BC的中点，连接AD，AD=4，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E．
（1）试判断四边形ADCE的形状并说明理由．
（2）已知点P为线段AD上的动点，求PE+PC的最小值．
（3）已知有两个动点G，Q，其中G点在线段CE上运动，Q点在线段BD上运动，线段GQ的中点为R，求动点R所在区域的面积．

Answer 1

分析 （1）证明∠ADC=∠DAE=AEC=90°，从而可证明四边形ADCE为矩形；
（2）如图1所示：连接BE交AD于点P，连接PC，首先证明AD是BC的垂直平分线，故此PC=PB，于是EP+PC=EP+PB，然后两点直线段最短可知当点E、P、B在同一直线上时EP+PC有最小值，最小值为EB的长，然后在△BCE中利用勾股定理求得BE的长即可；
（3）如图2所示：动点R所在区域为矩形DFGH，先求得矩形的长与宽从而可求得矩形的面积．

解答 解：（1）四边形ADCE为矩形．
理由：∵AB=AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}∠BAC$．
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠CAN=$\frac{1}{2}∠CAM$．
∴∠DAN=$\frac{1}{2}$$∠BAC+\frac{1}{2}CAM$=$\frac{1}{2}×180°$=90°．
∵CE⊥AN，
∴∠CEA=90°．
∴∠ADC=∠DAE=AEC=90°．
∴四边形ADCE为矩形．
（2）如图1所示：连接BE交AD于点P，连接PC．

∵AB=AC，AD是中位线，
∴AD⊥BC．
∴AD是BC的垂直平分线．
∴PC=PB．
∴PE+PC=PE+PB．
当点B、P、E在一条直线上时，PE+PC=EB，此时PE+PC有最小值．
在Rt△BCE中，BE=$\sqrt{B{C}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{13}$．
（3）如图2所示：动点R所在区域为矩形DFGH．

∵DF∥EC，点D为BC的中点，
∴BF=FE．
∴DF为△BEC的中位线．
∴DF=$\frac{1}{2}EC$=$\frac{1}{2}×4$=2．
同理：FG=$\frac{1}{2}DC=\frac{1}{2}×3$=$\frac{3}{2}$．
∴矩形FGHD的面积=2×$\frac{3}{2}$=3．
∴动点R所在区域的面积为3．

点评 本题主要考查的是矩形的判定和性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、线段的性质，画出符合题意的图形是解题的关键．