Question

5．二次函数y=x²+2x图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方（组成一个“W”形状的新图象），若直线y=$\frac{1}{2}$x+b与该新图象恰好有三个公共点，求b的值．

Answer 1

分析 先确定抛物线y=x²+2x的顶点坐标为（-1，-1）和抛物线y=x²+2x与x轴的交点为（-2，0），（0，0），画出抛物线，然后把抛物线y=x²+2x图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，则翻折部分的抛物线解析式为y=-（x+1）²+1（-2≤x≤0），有图象可得当直线y=$\frac{1}{2}$x+b过点A时，直线y=$\frac{1}{2}$x+b与该新图象恰好有三个公共点，易得对应的b的值为1；当直线y=$\frac{1}{2}$x+b与抛物线y=-（x+1）²+1（-2≤x≤0）相切时，直线y=$\frac{1}{2}$x+b与该新图象恰好有三个公共点，即-（x+1）²+1=$\frac{1}{2}$x+b有相等的实数解，利用根的判别式的意义可求出此时b的值．

解答 解：∵y=x²+2x=（x+1）²-1，
∴抛物线y=x²+2x的顶点坐标为（-1，-1），
当y=0时，x²+2x=0，解得x₁=0，x₂=-2，则抛物线y=x²+2x与x轴的交点为（-2，0），（0，0），
把抛物线y=x²+2x图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，则翻折部分的抛物线解析式为y=-（x+1）²+1（-2≤x≤0），
如图，

把直线y=$\frac{1}{2}$x向上平移，当平移后的直线y=$\frac{1}{2}$x+b过点A时，直线y=$\frac{1}{2}$x+b与该新图象恰好有三个公共点，所以$\frac{1}{2}$×（-2）+b=0，解得b=1；
当直线y=$\frac{1}{2}$x+b与抛物线y=-（x+1）²+1（-2≤x≤0）相切时，直线y=$\frac{1}{2}$x+b与该新图象恰好有三个公共点，即-（x+1）²+1=$\frac{1}{2}$x+b有相等的实数解，整理得x²+$\frac{5}{2}$x+b=0，△=（$\frac{5}{2}$）²-4b=0，解得b=$\frac{25}{16}$，
所以b的值为1或$\frac{25}{16}$．

点评 本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．