Question

8．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，将△ACD沿对角线AC翻折得△ACE，AE交BC于点F，将△CEF绕点C逆时针旋转α角（0°＜α＜180°）得△CE′F′，点E、F的对应点分别为E、F的对应点分别为E′、F′．旋转过程中直线CF′、E′F′分别交直线AE于点M、N，当△F′NM是等腰三角形且MN=MF′时，则MN=$\frac{275}{56}$．

Answer 1

分析 根据等腰三角形的性质得到∠MNF′=∠CF′E′，由折叠的性质得到∠NF′M=∠CF′E′，∠CF′E′=∠CFE，等量代换得到∠MNF=∠CFE，求得F′E′∥BC，根据平行线的性质得到∠FCF′=∠DCB=90°，过M作MH⊥CD，交DC的延长线于H，MI⊥BC，推出△CF′E′∽△CNH，CI=FI，由折叠的性质得：AF=CF，设EF=x，在R_t△CEF中由勾股定理得x²+36=（8-x）²，求得BF=EF=$\frac{7}{4}$．CF=$\frac{25}{4}$，于是得到CF：EF：CE=25：7：24，由于△CF′E′∽△CNH，由相似三角形的性质得到NH：HC：CM=7：24：25，求出MH=$\frac{1}{2}$CF=$\frac{25}{8}$，得到MC=$\frac{25}{8}$×$\frac{25}{7}$=$\frac{625}{56}$，即可得到结论．

解答 解：∵MN=MF′，
∴∠MNF′=∠MF′N，
∵∠NF′M=∠CF′E′，∠CF′E′=∠CFE，
∴∠MNF′=∠CFE，
∴F′E′∥BC，
∴∠F′E′C=∠DCB=90°，
过M作MH⊥CD，交DC的延长线于H，MI⊥BC，
∴△CF′E′∽△CMH，CI=FI，
由折叠的性质得：AF=CF，
设EF=x，
在R_t△CEF中，
由勾股定理得x²+36=（8-x）²，
解得：x=$\frac{7}{4}$，
∴BF=EF=$\frac{7}{4}$．CF=$\frac{25}{4}$，
∴CF：EF：CE=25：7：24，
∵△CF′E′∽△CMH，
∴MH：HC：CM=7：24：25，
∴MH=$\frac{1}{2}$CF=$\frac{25}{8}$，
∴MC=$\frac{25}{8}$×$\frac{25}{7}$=$\frac{625}{56}$，
∴MF′=CM-CF=$\frac{625}{56}$-$\frac{25}{4}$=$\frac{275}{56}$．
故答案为：$\frac{275}{56}$．

点评 本题考查了旋转的性质，折叠的性质，矩形的性质相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握各性质定理是解题的关键．