Question

12．如图，已知在△ABC中，∠B=45°，AB=4cm，∠C=30°．求△ABC的面积（结果保留根号）

Answer 1

分析 过点A作AD⊥BC于D，得到两个直角三角形，根据锐角三角函数的定义，求出AD和BC的长，再计算出三角形的面积．

解答 解：如图，过A作AD⊥BC于D，
在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=45°，AB=4cm，
∴AD=AB•sinB=4×sin45°=2$\sqrt{2}$，
BD=AB•cosB=4×cos45°=2$\sqrt{2}$．
在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∠C=30°，
∴CD=$\frac{AD}{tanC}$=$\frac{2\sqrt{2}}{tan30°}$=2$\sqrt{6}$，
∴BC=BD+CD=2$\sqrt{2}$+2$\sqrt{6}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AD=$\frac{1}{2}$×（2$\sqrt{2}$+2$\sqrt{6}$）×2$\sqrt{2}$=4+4$\sqrt{3}$（cm²）．

点评 本题考查的是解直角三角形，过点A作BC的垂线段，把△ABC分成两个直角三角形，解这两个直角三角形，求出BC和AD的长，然后用三角形的面积公式求出三角形的面积．