Question

【题目】如图，把平面内一条数轴绕原点逆时针旋转角得到另一条数轴轴和轴构成一个平面斜坐标系．过点作轴的平行线，交轴于点，过点作轴的平行线，交轴于点．若点在轴上对应的实数为，点在轴上对应的实数为，则成有序实数对为点的斜坐标．

（1）在某平面斜坐标系中，已知，点的斜坐标为，点与点关于轴对称，求点的斜坐标．

（2）某平面斜坐标系中，已知点，求出点关于轴、轴的对称点点、点的斜坐标．（用含及的式子表示）．

（3）直接写出点关于原点对称的点的斜坐标是_________．

Answer 1

【答案】(1) (5，-3)； (2)，； (3)

【解析】

(1)如图，作点P关于x轴的对称点N，连接PN交x轴于F，作NC∥x轴交y轴于C，作ND∥y轴交x轴于D．求出OC，OD即可解决问题；
(2)利用(1)中的方法解决问题即可；
(3)根据斜坐标的定义写出坐标即可．

(1)如图，作点P关于x轴的对称点N，连接PN交x轴于F，作NC∥x轴交y轴于C，作ND∥y轴交x轴于D．

∵DN∥BC∥PA，
∴∠PAF=∠NDF，
∵PF=NF，∠AFP=∠NFD，
∴△AFP≌△DFN(AAS)，
∴AF=DF，PA=DN=OC=b，
∵在Rt△AFP中，∠PAF=∠BOA=θ=60°，
∴AF=DF=bcos60°=b，

∴OD=OA+ AF+DF =，
∴，
∵，
∴点N的斜坐标为(5，-3)；

(2)如图，作点P关于x轴的对称点Q，连接PQ交x轴于F，作QC∥x轴交y轴于C，作QD∥y轴交x轴于D．

∵DQ∥BC∥PA，
∴∠PAF=∠QDF，
∵PF=QF，∠AFP=∠QFD，
∴△AFP≌△DFQ(AAS)，
∴AF=DF，PA=DQ=OC=y，

∵在Rt△AFP中，∠PAF=∠BOA=θ，
∴AF=DF=，

∴DO=OA+AF+FD=

∴点Q的斜坐标为，

如图，作点P关于y轴的对称点R，连接PR交轴于E，作RH∥轴交y轴于H，作RG∥轴交轴于G．

同理可证得△EBP≌△EHR(AAS)，
∴BE=EH，PB=RH=OA=，

∵在Rt△EBP中，∠EBP=∠BOA=θ，
∴BE=EH =cos，

∴HO=OB+BE+EH=，

∴点R的坐标为；

(3)如图，点P关于原点的对称点，作∥轴交轴于M．

∵∥PB∥OA，

∴△≌△PBO，
∴，，

∴关于原点对称的点的斜坐标是，
故答案为：．