Question

（2012•黔南州）已知：如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D在AB的延长线上，∠BCD=∠A．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）过点C作CE⊥AB于E．若CE=2，cosD=

4

5

，求AD的长．

Answer 1

分析：（1）先连接CO，根据AB是⊙O直径，得出∠1+∠OCB=90°，再根据AO=CO，得出∠1=∠A，最后根据∠4=∠A，证出OC⊥CD，即可得出CD为⊙O的切线；
（2）根据OC⊥CD，得出∠3+∠D=90°，再根据CE⊥AB，得出∠3+∠2=90°，从而得出cos∠2=cosD，再在△OCD中根据余弦定理得出CO的值，最后根据⊙O的半径为

5

2

，即可得出AD的长．

解答：证明：（1）连接CO，
∵AB是⊙O直径
∴∠1+∠OCB=90°，
∵AO=CO，
∴∠1=∠A．
∵∠4=∠A，
∴∠4+∠OCB=90°．
即∠OCD=90°．
∴OC⊥CD．
又∵OC是⊙O半径，
∴CD为⊙O的切线．

（2）∵OC⊥CD于C，
∴∠3+∠D=90°．
∵CE⊥AB于E，
∴∠3+∠2=90°．
∴∠2=∠D．
∴cos∠2=cosD，
在△OCD中，∠OCD=90°，
∴cos∠2=

CE

CO

∵cosD=

4

5

，CE=2，
∴

2

CO

=

4

5

，
∴CO=

5

2

，
∴⊙O的半径为

5

2

．
∴OD=

OC

tanD

=

25

6

，
AD=

20

3

．

点评：本题考查了切线的判定与性质，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可，同时考查了三角函数的知识．