Question

12．在△ABC中，sinB=$\frac{3}{5}$，AB=15，∠C=45°，求△ABC的周长（结果保留根号）．

Answer 1

分析 作AD⊥BC于D，由三角函数求出AD=$\frac{3}{5}$AB=9，由勾股定理求出BD，证出△ACD是等腰直角三角形，得出CD=AD=9，BC=BD+CD=21，AC=$\sqrt{2}$AD=9$\sqrt{2}$，即可得出结果．

解答 解：作AD⊥BC于D，如图所示：
∵sinB=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{3}{5}$，AB=15，
∴AD=$\frac{3}{5}$AB=$\frac{3}{5}$×15=9，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{1{5}^{2}-{9}^{2}}$=12，
∵∠C=45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴CD=AD=9，
∴BC=BD+CD=21，AC=$\sqrt{2}$AD=9$\sqrt{2}$，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=15+21+9$\sqrt{2}$=36+9$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了解直角三角形、三角函数、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握解直角三角形，由三角函数求出AD是解决问题的关键．