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【题目】如图,AD是⊙O的切线,切点为AAB是⊙O的弦,过点BBCAD,交⊙O于点C,连接AC,过点CCDAB,交AD于点D,连接AO并延长交BC于点M,交过点C的直线于点P,且∠BCP=∠ACD

1)求证:∠BAP=∠CAP

2)判断直线PC与⊙O的位置关系,并说明理由;

3)若AB5BC10,求PC的长.

【答案】1)见解析;(2PC与圆O相切,理由见解析;(3

【解析】

1)过C点作直径CE,连接EB,由CE为直径得∠E+BCE=90°,由ABDC得∠ACD=BAC,而∠BAC=E,∠BCP=ACD,所以∠E=BCP,于是∠BCP+BCE=90°,然后根据切线的判断得到结论;
2)根据切线的性质得到OAAD,而BCAD,则AMBC,根据垂径定理有BM=CM=BC=5,根据等腰三角形性质有AC=AB=9,在RtAMC中根据勾股定理计算出AM的长度,设⊙O的半径为r,则OC=rOM=AM-r=5-r,在RtOCM中,根据勾股定理计算出r=3,由CE=2r,利用中位线性质得BE的长度,然后判断RtPCMRtCEB,根据相似比可计算出PC

1)证明:∵AD是⊙O的切线,

OAAD

BCAD

OABC

∴弧BE=弧CF

∴∠BAP=∠CAP

2PC与圆O相切,理由为:

C点作直径CE,连接EB,如图,

CE为直径,

∴∠EBC90°,即∠E+BCE90°

ABDC

∴∠ACD=∠BAC

∵∠BAC=∠E,∠BCP=∠ACD

∴∠E=∠BCP

∴∠BCP+BCE90°,即∠PCE90°

CEPC

PC与圆O相切;

2)∵AD是⊙O的切线,切点为A

OAAD

BCAD

AMBC

BMCMBC5

ACAB5

RtAMC中,AM5

设⊙O的半径为r,则OCrOMAMr5r

RtOCM中,OM2+CM2OC2,即+52r2

解得:r3

CE2r6OM5r2

BE2OM4

∵∠E=∠MCP

RtPCMRtCEB

PC

练习册系列答案
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摸球的次数n

100

150

200

500

800

1000

摸到黑球的次数m

23

31

60

130

203

251

摸到黑球的频率

0.230

0.231

0.300

0.260

0.254

袋中白球的个数约为______.

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【题目】某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入,购买了33m的铁栅栏,准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙(墙长15m)围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场(如图所示).

1)若要建的矩形养鸡场面积为90m2,求鸡场的长(AB)和宽(BC);

2)该扶贫单位想要建一个100m2的矩形养鸡场,请直接回答:这一想法能实现吗?

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①⊙O的半径为ODBEPB=tanCEP=

其中正确结论有( )

A.1B.2C.3D.4

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在平面直角坐标系xOy中,已知点A20),B02),C(﹣20).

1)在P122),P10),R1+1)三个点中,是点O关于线段AB的联络点的是   

2)若点P既是点O关于线段AB的联络点,同时又是点B关于线段OA的联络点,求点P的横坐标m的取值范围;

3)直线yx+bb0)与x轴,y轴分交于点MN,若在线段BC上存在点N关于线段OM的联络点,直接写出b的取值范围.

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