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【题目】如图示,在平面直角坐标系中,二次函数)交轴于,在轴上有一点,连接.

1)求二次函数的表达式;

2)点是第二象限内的点抛物线上一动点

①求面积最大值并写出此时点的坐标;

②若,求此时点坐标;

3)连接,点是线段上的动点.连接,把线段绕着点顺时针旋转,点是点的对应点.当动点从点运动到点,则动点所经过的路径长等于______(直接写出答案)

【答案】1;(2)①,点坐标为;②;(3

【解析】

1)根据点坐标代入解析式即可得解;

2)①由AE两点坐标得出直线AE解析式,设点坐标为,过点轴交于点,则坐标为,然后构建面积与t的二次函数,即可得出面积最大值和点D的坐标;

②过点,在中,由得出点M的坐标,进而得出直线ME的解析式,联立直线ME和二次函数,即可得出此时点D的坐标;

3)根据题意,当点P在点C时,Q点坐标为(-6,6),当点P移动到点A时,Q′点坐标为(-4-4),动点所经过的路径是直线QQ′,求出两点之间的距离即可得解.

1)依题意得:,解得

2)①∵

∴设直线AE

AE代入,得

∴直线

设点坐标为,其中

过点轴交于点,则坐标为

即:

由函数知识可知,当时,,点坐标为

②设相交于点

过点,垂足为

中,

,则

(舍去),

时,

3)当点P在点C时,Q点坐标为(-6,6),当点P移动到点A时,Q′点坐标为(-4-4),如图所示:

∴动点所经过的路径是直线QQ′

故答案为.

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