Question

【题目】如图，△ABC中，D是BC边上的一点，E为AD的中点，过A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF=BD，连接BF.

(1)求证:BD=CD;

(2)如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）当AB=AC时，四边形AFBD是矩形，证明见解析.

【解析】试题分析：（1）根据平行线的性质得到∠AFE=∠DCE，由中点的定义得到AE=DE，根据三角形全等的判定易证得△AFE≌△DCE，利用全等三角形的性质得AF=DC，而AF=BD，即可得到D是BC的中点；

（2）在（1）的基础上，根据全等三角形的性质和有三个角都是直角的四边形是矩形.

试题解析：证明:∵AF∥BC，∴∠AFE=∠ECD.

又∵E为AD的中点，∴AE=DE.

在△AFE与△DCE中，∵

∴△AFE≌△DCE(AAS)，∴AF=CD.

又∵AF=BD，∴BD=CD.

(2)解:当AB=AC时，四边形AFBD是矩形.

证法一:由(1)知，D为BC的中点，又∵AB=AC，

∴AD⊥BC.

∵AF∥BC，∴∠DAF=∠ADB=90°.

∵△AFE≌△DCE(已证)，∴CE=EF.

∴DE为△BCF的中位线，∴DE∥BF.

∴∠FBD=∠EDC=90°，

∴四边形AFBD是矩形.

证法二:∵AF=BD，AF∥BD，

∴四边形AFBD是平行四边形.

由(1)知，D为BC的中点，又∵AB=AC，

∴AD⊥BC(三线合一)，即∠BDA=90°.

∴AFBD是矩形.