Question

3．如乙图，长方形ABCD在平面直角坐标系中，点A（1，8），B（1，6），C（7，6）．点X，Y分别在x，y轴上．

（1）请直接写出D点的坐标（7，8）．
（2）连接线段OB，OD，OD交BC于E，如甲图，∠BOY的平分线和∠BEO的平分线交于点F，若∠BOE=n，∠OFE的度数．
（3）若长方形ABCD以每秒$\frac{3}{2}$个单位的速度向下运动，设运动的时间为t秒，问第一象限内是否存在某一时刻t，使△OBD的面积等于长方形ABCD的面积的$\frac{2}{3}$？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由长方形的性质得出AB=DC，AD=BC，由题意得出AB=DC=2，即可得出D点的坐标；
（2）设∠BEO=2x，则∠EOX=2x，作FG∥OX，得出∠FOX=$\frac{1}{2}$∠BOY+∠BOE+∠EOX=$\frac{1}{2}$∠BOY+n+2x，由角平分线得出$\frac{1}{2}$∠BOY=$\frac{1}{2}$（90°-n+2x），得出∠FOX=45°+$\frac{1}{2}$n+x，由平行线得出∠EFG=∠BEF=x，得出∠OFG=180°-∠FOX=135°-$\frac{1}{2}$n-x，即可得出∠OFE的度数；
（3）作AM⊥y轴于M，先求出矩形ABCD的面积，△OBD的面积=△ODM的面积-△ABD的面积-梯形AMOB的面积，得出方程，解方程即可求出t的值．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是长方形，
∴AB=DC，AD=BC，
∵点A（1，8），B（1，6），C（7，6），
∴AB=DC=2，
∴D点的坐标为：（7，8）；
故答案为：（7，8）；
（2）∵∠BOY的平分线和∠BEO的平分线交于点F，
∴∠BOF=∠FOY=$\frac{1}{2}$∠BOY，∠BEF=∠OEF=$\frac{1}{2}$∠BEO，
∵BC∥OX，
∴∠BEO=∠EOX，
设∠BEO=2x，
则∠EOX=2x，
作FG∥OX，如图1所示：
则∠FOX=$\frac{1}{2}$∠BOY+∠BOE+∠EOX=$\frac{1}{2}$∠BOY+n+2x，
又∵$\frac{1}{2}$∠BOY=$\frac{1}{2}$（90°-n+2x）=45°-$\frac{1}{2}$n-x，
∴∠FOX=45°-$\frac{1}{2}$n-x+n+2x=45°+$\frac{1}{2}$n+x，
∵BC∥FG∥OX，
∴∠EFG=∠BEF=x，
∴∠OFG=180°-∠FOX=135°-$\frac{1}{2}$n-x，
∴∠OFE=∠EFG+∠OFG=135°-$\frac{1}{2}$n；
（3）存在某一时刻，使△OBD的面积等于长方形ABCD面积的$\frac{2}{3}$，t=2；理由如下：
作AM⊥y轴于M，如图2所示：
∵S_矩形ABCD=2×6=12，
S_△OBD=S_△ODM-S_△ABD-S_梯形AMOB=12×$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{1}{2}$×（8-$\frac{3}{2}$t）×7-$\frac{1}{2}$×12-$\frac{1}{2}$（2+8-$\frac{3}{2}$t）×1=12×$\frac{2}{3}$，
解得：t=2．

点评 本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、坐标与图形性质、角的平分线、平行线的性质、三角形内角和定理、图形面积的计算等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要通过作辅助线才能得出结果．