菱形ABCD中.两条对角线AC.BD相交于点O.∠MON+∠BCD=180°.∠MON绕点O旋转.射线OM交边BC于点E.射线ON交边DC于点F.连接EF．(1)如图1.当∠ABC=90°时.△OEF的形状是等腰直角三角形,(2)如图2.当∠ABC=60°时.请判断△OEF的形状.并说明理由,的条件下.将∠MON的顶点移到AO的中点O′处.∠MO′N绕点O′旋转.仍满足� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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5．菱形ABCD中，两条对角线AC，BD相交于点O，∠MON+∠BCD=180°，∠MON绕点O旋转，射线OM交边BC于点E，射线ON交边DC于点F，连接EF．
（1）如图1，当∠ABC=90°时，△OEF的形状是等腰直角三角形；
（2）如图2，当∠ABC=60°时，请判断△OEF的形状，并说明理由；
（3）在（1）的条件下，将∠MON的顶点移到AO的中点O′处，∠MO′N绕点O′旋转，仍满足∠MO′N+∠BCD=180°，射线O′M交直线BC于点E，射线O′N交直线CD于点F，当BC=4，且$\frac{{S}_{△O′EF}}{{S}_{四边形ABCD}}$=$\frac{9}{8}$时，直接写出线段CE的长．

分析（1）先求得四边形ABCD是正方形，然后根据正方形的性质可得∠EBO=∠FCO=45°，OB=OC，再根据同角的余角相等可得∠BOE=∠COF，然后利用“角边角”证明△BOE和△COF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；
（2）过O点作OG⊥BC于G，作OH⊥CD于H，根据菱形的性质可得CA平分∠BCD，∠ABC+∠BCD=180°，求得OG=OH，∠BCD=180°-60°=120°，从而求得∠GOH=∠EOF=60°，再根据等量减等量可得∠EOG=∠FOH，然后利用“角边角”证明△EOG和△FOH全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；
（3）过O点作OG⊥BC于G，作OH⊥CD于H，先求得四边形O′GCH是正方形，从而求得GC=O′G=3，∠GO′H=90°，然后利用“角边角”证明△EO′G和△FO′H全等，根据全等三角形对应边相等即可证得△O′EF是等腰直角三角形，根据已知求得等腰直角三角形的直角边O′E的长，然后根据勾股定理求得EG，即可求得CE的长．

解答（1）△OEF是等腰直角三角形；
证明：如图1，∵菱形ABCD中，∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是正方形，
∴OB=OC，∠BOC=90°，∠BCD=90°，∠EBO=∠FCO=45°，
∴∠BOE+∠COE=90°，
∵∠MON+∠BCD=180°，
∴∠MON=90°，
∴∠COF+∠COE=90°，
∴∠BOE=∠COF，
在△BOE与△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BOE=∠COF}\\{OB=OC}\\{∠EBO=∠FCO}\end{array}\right.$，
∴△BOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF，
∴△OEF是等腰直角三角形；
故答案为等腰直角三角形；
（2）△OEF是等边三角形；
证明：如图2，过O点作OG⊥BC于G，作OH⊥CD于H，
∴∠OGE=∠OGC=∠OHC=90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CA平分∠BCD，∠ABC+BCD=180°，
∴OG=OH，∠BCD=180°-60°=120°，
∵∠GOH+∠OGC+∠BCD+∠OHC=360°，
∴∠GOH+∠BCD=180°，
∴∠MON+∠BCD=180°，
∴∠GOH=∠EOF=60°，
∵∠GOH=∠GOF+∠FOH，∠EOF=∠GOF+∠EOG，
∴∠EOG=∠FOH，
在△EOG与△FOH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EOG=∠FOH}\\{OG=OH}\\{∠EGO=∠FHO}\end{array}\right.$，
∴△EOG≌△FOH（ASA），
∴OE=OF，
∴△OEF是等边三角形；
（3）证明：如图3，∵菱形ABCD中，∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是正方形，
∴$\frac{O′C}{AC}$=$\frac{3}{4}$，
过O点作O′G⊥BC于G，作O′H⊥CD于H，
∴∠O′GC=∠O′HC=∠BCD=90°，
∴四边形O′GCH是矩形，
∴O′G∥AB，O′H∥AD，
∴$\frac{O′G}{AB}$=$\frac{O′H}{AD}$=$\frac{O′C}{AC}$=$\frac{3}{4}$，
∵AB=BC=CD=AD=4，
∴O′G=O′H=3，
∴四边形O′GCH是正方形，
∴GC=O′G=3，∠GO′H=90°
∵∠MO′N+∠BCD=180°，
∴∠EO′F=90°，
∴∠EO′F=∠GO′H=90°，
∵∠GO′H=∠GO′F+∠FO′H，∠EO′F=∠GO′F+∠EO′G，
∴∠EO′G=∠FO′H，
在△EO′G与△FO′H中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EO′G=∠FO′H}\\{O′G=O′H}\\{∠EGO′=∠FHO′}\end{array}\right.$，
∴△EO′G≌△FO′H（ASA），
∴O′E=O′F，
∴△O′EF是等腰直角三角形；
∵S_{正方形ABCD}=4×4=16，$\frac{{S}_{△O′EF}}{{S}_{四边形ABCD}}$=$\frac{9}{8}$，
∴S_△O′EF=18，
∵S_△O′EF=$\frac{1}{2}$O′E²，
∴O′E=6，
在RT△O′EG中，EG=$\sqrt{O′{E}^{2}-O{′G}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∴CE=CG+EG=3+3$\sqrt{3}$．
根据对称性可知，当∠M′ON′旋转到如图所示位置时，
CE′=E′G-CG=3$\sqrt{3}$-3．
综上可得，线段CE的长为3+3$\sqrt{3}$或3$\sqrt{3}$-3．

点评本题考查了正方形的性质，菱形的性质，三角形全等的判定和性质，解决此类问题的关键是正确的利用旋转不变量．正确作出辅助线是关键．

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