Question

15．为解方程（x²-1）²-5（x²-1）+4=0，我们可以将x²-1视为一个整体，设x²-1=y，则y²=（x²-1）²，原方程可化为y²-5y+4=0，解此方程，得y₁=1，y₂=4．
当y=1时，x²-l=l，x²=2，∴x=±$\sqrt{2}$．
当y=4时，x²-l=4，x²=5，∴x=±$\sqrt{5}$
∴原方程的解为x₁=-$\sqrt{2}$，x₂=$\sqrt{2}$，x₃=-$\sqrt{5}$，x₄=$\sqrt{5}$．
以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想．运用上述方法解下列方程：
（1）x⁴-3x²-4=0；
（2）（x²+x）（x²+x-2）=-1．

Answer 1

分析 （1）设t=x²，则原方程转化为关于t的一元二次方程t²-3t-4=0，通过解该方程得到t的值，然后解关于x的一元二次方程即可；
（2）设y=x²+x，则原方程转化为关于y的一元二次方程y（y-2）=-1，通过解方程求得y的值，然后解关于x的一元二次方程．

解答 解：（1）设t=x²，则t²-3t-4=0，
所以：（t-4）（t+1）=0，
解得t=4或t=-1（舍去）．
则x²=4，
解得x=-2，x=2．
因此方程的根为x₁=2，x₂=-2；

（2）设y=x²+x，则y（y-2）=-1，
所以（y-1）²=0，
解得y₁=y₂=1，
所以x²+x=1．即x²+x-1=0．
则x=$\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$，
解得，x₁=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，x₂=$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．