Question

6．如图，已知?ABCD，DE平分∠ADC分别交BC、AC于点E、F，G是AD中点，EG交AC于点H．若AB=4，AD=6．求
（1）$\frac{DF}{EF}$；
（2）AH：HF：FC．

Answer 1

分析 （1）首先证明△ADF∽△CEF，由相似三角形的性质可知：$\frac{DF}{EF}$=$\frac{AD}{EC}$；
（2）由△ADF∽△CEF，可知：$\frac{AF}{FC}=\frac{DF}{EF}$，从而可得到：AF=$\frac{3}{5}AC$，$FC=\frac{2}{5}AC$，然后再证明△AGH∽△CEH，从而可证得AH=$\frac{3}{7}AC$，由HF=AF-AH得HF=$\frac{6}{35}$AC，依此可求得AH：HF：FC的值．

解答 解：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC．CD=AB=4
∴∠ADE=∠DEC．
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠EDC．
∴∠DEC=∠EDC．
∴EC=CD=4．
∵AD∥BC，
∴△ADF∽△CEF．
∴$\frac{DF}{EF}=\frac{AD}{EC}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$．
（2）∵△ADF∽△CEF，
∴$\frac{AF}{FC}=\frac{3}{2}$．
∴$\frac{AF}{AC}=\frac{3}{5}$．
∴AF=$\frac{3}{5}AC$，$FC=\frac{2}{5}AC$．
∵G是AD的中点，
∴AG=3．
∵AD∥BC，
∴△AGH∽△CEH．
∴$\frac{AH}{HC}=\frac{AG}{EC}=\frac{3}{4}$．
∴$\frac{AH}{AC}=\frac{3}{7}$．
∴AH=$\frac{3}{7}AC$．
∴HF=AF-AH=$\frac{3}{5}AC-\frac{3}{7}AC$=$\frac{6}{35}$AC．
∴AH：HF：FC=$\frac{3}{7}：\frac{6}{35}：\frac{2}{5}$=15：6：14．

点评 本题主要考查的是相似三角形的性质和判定，证得△ADF∽△CEF、△AGH∽△CEH是解题的关键．