Question

如图9四边形ABCD是菱形，且，是等边三角形，M为对角线BD(不含B点)上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转得到BN，连接EN、AM、CM，则下列五个结论中正确的是（   ）

①若菱形ABCD的边长为1,则的最小值1;
②；
③；④连接AN，则；
⑤当的最小值为时，菱形ABCD的边长为2.

A．①②③

B．②④⑤

C．①②⑤

D．②③⑤

Answer 1

C

解答：解：①连接AC，交BD于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，BD⊥AC，AO=BO
∴点A，点C关于直线BD对称，
∴M点与O点重合时AM+CM的值最小为AC的值
∵∠ABC=60，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，
∵AB=1，
∴AC=1，
即AM+CM的值最小为1，故本答案正确．
②∵△ABE是等边三角形，
∴BA=BE，∠ABE=60°．
∵∠MBN=60°，
∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN．
即∠MBA=∠NBE．
又∵MB=NB，
∴△AMB≌△ENB（SAS），故本答案正确．
③∵S_△ABE+S_△ABM=S_{四边形AMBE}
S_△ACD+S_△AMC=S_{四边形ADCM}，且S_△AMB≠S_△AMC，
∴S_△ABE+S_△ABM≠S_△ACD+S_△AMC，
∴S_{四边形AMBE}≠S_{四边形ADCM}，故本答案错误．
④假设AN⊥BE，且AE=AB，
∴AN是BE的垂直平分线，
∴EN=BN=BM=MN，
∴M点与O点重合，
∵条件没有确定M点与O点重合，故本答案错误．
⑤如图，连接MN，由（1）知，△AMB≌△ENB，
∴AM=EN，
∵∠MBN=60°，MB=NB，
∴△BMN是等边三角形．
∴BM=MN．
∴AM+BM+CM=EN+MN+CM．（10分）
根据“两点之间线段最短”，得EN+MN+CM=EC最短
∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长．
过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，
∴∠EBF=180°-120°=60°，设菱形的边长为x，
∴BF=x，EF=x，在Rt△EFC中，
∵EF²+FC²=EC²，
∴(x)²+(x+x)²=(2)²，解得x=2，故本答案正确．
综上所述，正确的答案是：①②⑤，
故选C．