Question

如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC＞AC，⊙O为△ABC的外接圆，以点C为圆心，BC长为半径作弧交CA的延长线于点D，交⊙O于点E，连接BE、DE．
（1）求∠DEB的度数；
（2）若直线DE交⊙0于点F，判断点F在半圆AB上的位置，并证明你的结论．

Answer 1

解：（1）连接CE、BD，
∵∠BDE与∠ECB所对的弧都为弧EB，
∴∠BDE=∠ECB，
同理：∠DBE=∠ECD，
∴∠BDE+∠DBE=∠DCB，
∵∠ACB=90°，
∴∠BDE+∠DBE=45°，
∴∠DEB=180°-（∠BDE+∠DBE）=135°；

（2）F为弧AB中点．
理由：连接BF，由（1）知∠DEB=135°，
∴∠ABF=45°，
∴=，
即F为弧AB中点．
分析：（1）首先连接CE、BD，由圆周角定理可得：∠BDE=∠ECB，∠DBE=∠ECD，则可求得∠BDE+∠DBE=45°，继而求得∠DEB的度数；
（2）由（1）知∠DEB=135°，即可得∠BEF=45°，则可知弧FB=弧AB；即F为弧AB中点．
点评：此题考查了圆周角定理以及弧与圆心角的关系．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．