Question

8．如图，已知两条直线a∥b，直线a、b间的距离为h，点M、N在直线a上，MN=x；点P在直线b上，并且x+h=40．
（1）记△PMN的面积为S，
①求S与x的函数关系，并求出MN的长为多少时△PMN的面积最大？最大面积是多少？
②当△PMN的面积最大时，能过出∠PMN的正切值吗？为什么？
（2）①请你用尺规作图的方法确定△PMN的周长最小时点P的位置（要求不写作法，但保留作图痕迹）；并判断△PMN的形状；
②直接写出当△PMN的面积最大时这个最小周长的值；
（3）请你在（2）②中得到的△PMN内求一点P，使得AP+AM+AN的和最小，求出AP+AM+AN和的最小值．

Answer 1

分析 （1）①根据x+h=40得出h=40-x，再由三角形的面积公式即可得出结论；
②因为只要MN=h=20，P在直线b上任意位置时，△PMN的面积取得最大值，因为不能确定P点位置，所以∠PMN得大小无法确定，因此不能求出∠PMN的正切值；
（2）①作出△PMN，由图可知△PMN是以线段MN为底的等腰三角形；
②根据勾股定理求出PN的长，进而可得出结论；
（3）将△MPA绕点M顺时针旋转60°得到△MP′A′，根据图形旋转的性质得出P′A′=PA，∠MA′P′=120°．连接AA′，则△MAA′是等边三角形．由此可得出P′，A′，A，N四点在一条直线上，故AP+AM+AN=P′A′+AA′+AN=P′N，所以AP+AM+AN和的最小值等于P′N的长，由此可得出结论．

解答 解：（1）①∵x+h=40，
∴h=40-x，
S=$\frac{1}{2}$x（40-x）=-$\frac{1}{2}$x²+20x，
∵S=-$\frac{1}{2}$（x-20）²+200，
∴当MN=20时，△PMN的面积最大，最大面积为200；
②不能．
因为只要MN=h=20，P在直线b上任意位置时，△PMN的面积取得最大值，因为不能确定P点位置，所以∠PMN得大小无法确定，因此不能求出∠PMN的正切值；

（2）①如图1，△PMN是以线段MN为底的等腰三角形．
②周长最小时点P为MN的垂直平分线与直线a的交点；

（3）如图2，在等腰△PMN的顶角∠MPN的平分线上取点A，使得∠AMN=∠ANM=30°，点A在此处可使得AP+AM+AN的和最小．
∵此时∠MAP=∠NAP=∠NAM=120°．
将△MPA绕点M顺时针旋转60°得到△MP′A′．
∴P′A′=PA，∠MA′P′=120°．
连接AA′，则△MAA′是等边三角形．
∴MA=AA′，∠MA′A=∠NAA′=60°．
∴∠MA′P+MAA′=MAA′+∠MAN=180°．
即P′，A′，A，N四点在一条直线上，
∴AP+AM+AN=P′A′+AA′+AN=P′N，
∴AP+AM+AN和的最小值等于P′N的长，
此时，NA=MA=10÷cos30°=$\frac{20\sqrt{3}}{3}$，AB=10×tan30°=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$，
∴AP+AM+AN的最小值为：20-$\frac{10\sqrt{3}}{3}$+2×$\frac{20\sqrt{3}}{3}$=20+10$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是二次函数综合题，涉及到二次函数的最值问题，等腰三角形的判定与性质等知识，在解答（3）时涉及到图形的旋转及三角形函数的定义等知识，难度较大．