Question

（2012•北塘区一模）定义：若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．如图，直线l：y=

1

3

x+b经过点M（0，

1

4

），一组抛物线的顶点B₁（1，y₁），B₂（2，y₂），B₃（3，y₃），…B_n（n，y_n） （n为正整数），依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A₁（x₁，0），A₂（x₂，0），A₃（x₃，0），…A_n+1（x_n+1，0）（n为正整数）．若x₁=d（0＜d＜1），当d为（　　）时，这组抛物线中存在美丽抛物线．

• A．

  5

  12

  或

  7

  12

• B．

  5

  12

  或

  11

  12

• C．

  7

  12

  或

  11

  12

• D．

  7

  12

Answer 1

分析：由抛物线的对称性可知，所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰三角形，所以此等腰三角形斜边上的高等于斜边的一半．又0＜d＜1，所以等腰直角三角形斜边的长小于2，所以等腰直角三角形斜边的高一定小于1，即抛物线的定点纵坐标必定小于1．

解答：解：直线l：y=

1

3

x+b经过点M（0，

1

4

），则b=

1

4

；
∴直线l：y=

1

3

x+

1

4

．
由抛物线的对称性知：抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的直角三角形必为等腰直角三角形；
∴该等腰三角形的高等于斜边的一半．
∵0＜d＜1，
∴该等腰直角三角形的斜边长小于2，斜边上的高小于1（即抛物线的顶点纵坐标小于1）；
∵当x=1时，y₁=

1

3

×1+

1

4

=

7

12

＜1，
当x=2时，y₂=

1

3

×2+

1

4

=

11

12

＜1，
当x=3时，y₃=

1

3

×3+

1

4

=

5

4

＞1，
∴美丽抛物线的顶点只有B₁、B₂．
①若B₁为顶点，由B₁（1，

7

12

），则d=1-

7

12

=

5

12

；
②若B₂为顶点，由B₂（2，

11

12

），则d=1-[（2-

11

12

）-1]=

11

12

，
综上所述，d的值为

5

12

或

11

12

时，存在美丽抛物线．
故选B．

点评：考查了二次函数综合题，该题是新定义题型，重点在于读懂新定义或新名词的含义．利用抛物线的对称性找出相应的等腰直角三角形是解答该题的关键．