Question

6．如图，在正方形ABCD中，P是BC边上一点（不与点B，C重合），AP⊥PE．
（1）求证：△ABP∽△PCE；
（2）当P位于BC的中点时，求证：EP²=EA•EC．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质和已知条件证明∠PAB=∠EPC，即可证明：△ABP∽△PCF；
（2）根据△ABP∽△PCE，得到$\frac{AB}{PC}=\frac{AP}{PE}$=$\frac{PC}{CE}$，由已知条件得到BP=PC=$\frac{1}{2}$AB，于是得到$\frac{AB}{PC}=\frac{AP}{PE}$=$\frac{PC}{CE}$=2，由于∠APF=∠PCF=90°，于是得到△APE∽△PCE，由相似三角形的性质：对应边的比值相等即可证明FP²=FA•FC．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠B=∠PCD=90°，
∴∠PAB+∠APB=90°，
∵∠APE=90°，
∴∠EPC+∠APB=90°，
∴∠PAB=∠EPC，
∴△ABP∽△PCE；

（2）解：∵△ABP∽△PCE，
∴$\frac{AB}{PC}=\frac{AP}{PE}$=$\frac{PC}{CE}$，
∵P位于BC的中点，
∴BP=PC=$\frac{1}{2}$AB，
∴$\frac{AB}{PC}=\frac{AP}{PE}$=$\frac{PC}{CE}$=2，
∵∠C=∠APE=90°，
∴△APE∽△PCE，
∴$\frac{AE}{PE}=\frac{PE}{CE}$，
∴EP²=EA•EC．

点评 本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．