Question

如图，矩形OABC放置在第一象限内，已知A（3，0），∠AOB=30°，反比例函数y=

k

x

的图象交BC、AB于点D、E．
（1）若点D为BC的中点，试证明点E为AB的中点；
（2）若点A关于直线OB的对称点为F，试探究：点F是否落在该双曲线上？

Answer 1

考点：反比例函数图象上点的坐标特征

专题：

分析：（1）根据直角三角形的性质，可得AB的长，根据矩形的性质，可得D点的坐标，根据待定系数法，可得反比例函数解析式，根据图象上的点满足函数解析式，可得证明结论；
（2）根据对称的性质，可得∠AOF的大小，OF与OA的关系，根据直角三角形的性质，可得F点的坐标，根据F点纵横坐标的乘积与反比例函数解析式中k的值，可得答案．

解答：（1）证明：∵OA=3，∠AOB=30°，
∴AB=

3

．
∵D点D为BC的中点，
∴D（1.5，

3

）．
∴反比例函数解析式是y=

3 3

2x

．
当x_E=3时，y_E=

3

2

，
∴E为AB的中点；
（2）作FG⊥OA于点G，如图：，
∵点A的对称点为，
∴∠AOF=60°．
∵OF=OA=3，
∴OG=

3

2

，FG=

3 3

2

．
∴F(

3

2

，

3 3

2

)．
∵

3

2

×

3 3

2

≠

3 3

2

，
∴点F没有落在双曲线上．

点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用待定系数法求解析式，图象上的点满足函数解析式．