Question

如图1，在直线l同侧有A，E两点
（1）通过画图，在直线l上找到一点P，使得AP+EP的值最小；
（2）如图2，分别过点A，E作AB⊥BD，ED⊥BD，C为线段BD上一动点，连接AC，EC．已知AB=9，DE=1，AE=17，设CD=x，用含x的代数式表示AC+CE的长；
（3）应用A：如图3，若直线l是一条河流，A、E代表河流同侧的两个工厂，欲在河岸上建一供水站，供A、E两个工厂的用水，为了节省费用，使通水管道到两个工厂的距离之和最短；已知工厂A到河岸的距离为9千米，工厂E到河岸的距离为1千米，A、E两个工厂之间的距离为17千米，请你求出通水管道的最短长度；
（4）应用B：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式

x2+9

+

(16-x)2+81

的最小值（0＜x＜16）

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题

专题：

分析：（1）根据轴对称确定最短路线问题作出图形即可；
（2）过点E作EF⊥AB于F，得到四边形BDEF是矩形，然后求出AF，利用勾股定理列式求出EF，即为BD的长，再利用勾股定理分别表示出AC、CE，相加即可得解；
（3）构造出直角三角形，然后求出AH、HE′，再利用勾股定理列式计算即可得解；
（4）作出图形，根据代数式的几何意义，利用勾股定理列式求出AE′，即为最小值．

解答：解：（1）作出点E关于直线l的对称点E′，连接AE′，AE′与l相交于P，点P即为所求作的使AP+EP的值最小的点；

（2）过点E作EF⊥AB于F，则四边形BDEF是矩形，
∴AF=AB-BF=AB-DE=9-1=8，
在Rt△AEF中，由勾股定理得，ED=

AE2-AF2

=

172-82

=15，
∴BD=15，
∵CD=x，
∴BC=15-x，
在Rt△ABC和Rt△CDE中，AC=

AB2+BC2

=

81+(15-x)2

，
CE=

DE2+CD2

=

1+x2

，
∴AC+CE=

81+(15-x)2

+

1+x2

；

（3）由（1）（2）可知，在Rt△AHE′中，AH=AB+BH=AB+DE′=9+1=10，
HE′=BD=15，
∴AC+CE=AE′=

AH2+AE′2

=

102+152

=5

13

；

（4）由（1）（2）知，如图BD=16，CD=x，AB=9，DE=DE′=3，BC=16-x，
AH=AB+BH=AB+DE′=9+3=12，
HE′=BD=16，
AP+PE=CE′+AC=

x2+9

+

(16-x)2+81

，
当C、C′重合时，AC+CE最小，
AP+PE=CE+AC=AE′=

122+162

=20，
∴

x2+9

+

(16-x)2+81

的最小值是20．

点评：本题考查了利用轴对称确定最短路线问题，坐标与图形性质，读懂题目信息理解代数式的几何意义以及最小值的求解方法是解题的关键．