Question

17．进入夏季后某款空调供不应求，厂家加班生产并销售，在第一个产销期的12天中，为提高产量，从第5天开始增加了工时生产成本，每台空调的成本P（元）与时间x（天）的关系如表：

时间x（天）	每台空调的成本P（元）
0＜x≤5	P=400
5＜x≤12	P=40x+200

已知每天生产的空调数量y（台）与时间x（天）近似满足函数关系y=2x+16，每台空调的出售价格为1400元．
请解答下列问题：
（1）设厂家的日销售利润为W元，求W（元）与时间x（天）的函数关系式；
（2）确定该厂哪一天获得最大利润，最大利润是多少？
（3）设厂家在第一个产销期，获得最大利润时的成本为P₁，日生产量为y₁．
现计划从第13天开始，按每台成本P1元，每台生产y₁台进行生产并完全售出，但由于机器损耗等原因，实际平均每台空调的成本比统计增加了a%，使得厂家10天的销售利润与原计划的8天的销售利润持平，求a的值．

Answer 1

分析 （1）分0＜x≤5、5＜x≤12，根据“总利润=单件利润×销售量”列出函数解析式；
（2）结合x的范围，分别根据一次函数和二次函数的增减性求解可得；
（3）先根据题意求得y₁、P₁，再由“厂家10天的销售利润与原计划的8天的销售利润持平”列方程求解可得．

解答 解：（1）当0＜x≤5时，W=y（1400-P）=（2x+16）（1400-400）=2000x+16000；
当5＜x≤12时，W=y（1400-P）=（2x+16）[1400-（40x+20）]=-80x²+1760x+19200．

（2）当0＜x≤5时，W=2000x+16000，
∵2000＞0，W随x的增大而增大，
∴当x=5时，W有最大值为26000元；
当5＜x≤12时，W=-80x²+1760x+19200=-80（x-11）²+28880，
∴当x=11时，W有最大值28880元，
综上，第11天的利润最大，最大利润是28880元；

（3）y₁=2×11+16=38件，P₁=40×11+200=640元，
由题意得：[1400-640（1+a%）]×38×10=28880×8，
解得：a=23.75，
∴a的值为23.75．

点评 本题主要考查二次函数的应用及一元一次方程的应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系是解题的关键．