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(2008•苏州)如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=5,AD=6,BC=12.动点P从D点出发沿DC以每秒1个单位的速度向终点C运动,动点Q从C点出发沿CB以每秒2个单位的速度向B点运动.两点同时出发,当P点到达C点时,Q点随之停止运动.
(1)梯形ABCD的面积等于______;
(2)当PQ∥AB时,P点离开D点的时间等于______秒;
(3)当P,Q,C三点构成直角三角形时,P点离开D点多少时间?

【答案】分析:(1)已知梯形各边的长,用勾股定理易求高以及其面积;
(2)本题要找出线段之比,设要用x秒后PQ∥AB,已知,求出x的值即可;
(3)本题有两种情况.当PQ⊥BC,利用求解.第二种是当QP⊥CD时,设P点离开D点x秒,利用线段比求解.
解答:解:(1)36;

(2)分别延长BA和CD,交于点N,
则NA:NB=AD:BC,即
=
NA=5,则ND=NA=5.
设用了x秒PQ∥AB,则DP=x,PC=5-x,CQ=2x.
PC:CN=CQ:CB,
,x=
即当PQ∥AB时,P点离开D点的时间等于秒;

(3)当P,Q,C三点构成直角三角形时,有两种情况:

①当PQ⊥BC时,设P点离开D点x秒,
作DE⊥BC于E,∴PQ∥DE.


∴当PQ⊥BC时,P点离开D点秒.
②当QP⊥CD时,设P点离开D点x秒
∵∠QPC=∠DEC=90°,∠C=∠C.
∴△QPC∽△DEC



∴当QP⊥CD时,点P离开点D秒.
由①②知,当P,Q,C三点构成直角三角形时,点P离开点D秒或秒.
点评:本题涉及大量的线段比以及要靠辅助线的帮助才能求解,有一定难度,需认真分析.
练习册系列答案
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(1)OH的长度等于______;k=______,b=______;
(2)是否存在实数a,使得抛物线y=a(x+1)(x-5)上有一点E,满足以D,N,E为顶点的三角形与△AOB相似?若不存在,说明理由;若存在,求所有符合条件的抛物线的解析式,同时探索所求得的抛物线上是否还有符合条件的E点(简要说明理由);并进一步探索对符合条件的每一个E点,直线NE与直线AB的交点G是否总满足PB•PG<10,写出探索过程.

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