Question

12．在长方形ABCD中，点E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到对应的△GBE，BG延长交DC于点F．
（1）如果点G在长方形ABCD的内部，如图1所示．
①求证：GF=DF；
②若DF=$\frac{1}{2}$DC，AD=4，求AB的长度．
（2）如果点G在长方形ABCD的外部，如图2所示，DF=kDC（k＞1），请用含k的代数式表示$\frac{AD}{AB}$的值．

Answer 1

分析 （1）①只要证明Rt△EGF≌Rt△EDF即可；
②设DF=FC=a，则AB=BG=2a，GF=a，在Rt△BFC中，根据BF²=CF²+BC²列出方程即可解决问题．
（2）运用（1）中结论得出，△BEG∽△EFG，得$\frac{EG}{FG}$=$\frac{BG}{EG}$，推出EG²=BG•GF，设DC=AB=BG=a，则DF=FG=ka，推出EG²=ka²，推出EG=$\sqrt{k}$a，推出AD=2EG=2$\sqrt{k}$a，由此即可解决问题．

解答 解：（1）①证明：如图1中，连接EF．

∵矩形ABCD中，E是AD的中点，△ABE沿BE折叠后得到△GBE，
∴AE=DE，AE=EG，∠A=∠BGE=∠D=90°，
在Rt△EFG和Rt△EFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{EF=EF}\\{EG=ED}\end{array}\right.$，
∴Rt△EGF≌Rt△EDF，
∴FG=DF；
②设DF=FC=a，则AB=BG=2a，GF=a，
在Rt△BFC中，∵BF²=CF²+BC²，
∴（3a）²+a²=4²，
解得a=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴AB=2a=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．

（2）如图2中，连接EF．

由（1）可知，△EFG≌△EFD，
∴∠FED=∠FEG，FD=FG，∵∠BEA=∠BEG，
∴∠BEF=90°，
∵∠BEG+∠FEG=90°，∠FEG+∠EFG=90°，
∠BEG=∠EFG，∵∠BGE=∠FGE=90°，
∴△BEG∽△EFG，
∴$\frac{EG}{FG}$=$\frac{BG}{EG}$，
∴EG²=BG•GF，设DC=AB=BG=a，则DF=FG=ka，
∴EG²=ka²，
∴EG=$\sqrt{k}$a，
∴AD=2EG=2$\sqrt{k}$a，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{2\sqrt{k}a}{a}$=2$\sqrt{k}$．

点评 本题考查翻折变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确性质全等三角形解决问题，属于中考常考题型．