Question

2．对于平面直角坐标系中的点P（a，b），若点P′的坐标为（a+$\frac{b}{k}$，ka+b）（其中k为常数，且k≠0），则称点P′为点P的“k属派生点”．
例如：P（1，4）的“2属派生点”为P′（1+$\frac{4}{2}$，2×1+4），即P′（3，6）．
（1）点P（-1，-2）的“2属派生点”P′的坐标为（-2，-4）；
（2）若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为P′点，且△OPP′为等腰直角三角形，则求k的值；
（3）如图，点A在函数y=-$\frac{4\sqrt{3}}{x}$（x＜0）的图象上，且点A是点B的“-$\sqrt{3}$属派生点”，问点B是否在直线y=$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$上．

Answer 1

分析 （1）根据“k属派生点”的定义即可直接求解；
（2）设点P坐标为（a，0），从而有P′（a，ka），显然PP′⊥OP，由条件可得OP=PP′，从而求出k；
（3）设B（a，b）根据派生点的定义表示出A的坐标，代入反比例函数y=-$\frac{4\sqrt{3}}{x}$的解析式即可得到a和b的关系，可得b=$\sqrt{3}$a+2 $\sqrt{2}$，由此即可判断B在直线y=$\sqrt{3}$x+2 $\sqrt{2}$上．

解答 解：（1）P（-1，-2）的“2属派生点”是（-1+$\frac{-2}{2}$，-2×1-2）即（-2，-4），
故答案是：（-2，-4）；   

（2））∵点P在x轴的正半轴上，
∴b=0，a＞0．
∴点P的坐标为（a，0），点P′的坐标为（a，ka）．
∴PP′⊥OP．
∵△OPP′为等腰直角三角形，
∴OP=PP′．
∴a=±ka．
∵a＞0，
∴k=±1．
综上所述，k=±1；
故答案为：±1．
（3）设B（a，b），
∵B的“-$\sqrt{3}$属派生点”是A，
∴A（a-$\frac{b}{\sqrt{3}}$，-$\sqrt{3}$a+b）
∵点A还在反比例函数y=-$\frac{4\sqrt{3}}{x}$的图象上，
∴（a-$\frac{b}{\sqrt{3}}$）（-$\sqrt{3}$a+b）=-4 $\sqrt{3}$．
∴（b-$\sqrt{3}$a）2=12．
∵b-$\sqrt{3}$a＞0，
∴b-$\sqrt{3}$a=2 $\sqrt{3}$．
∴b=$\sqrt{3}$a+2 $\sqrt{3}$．
∴B在直线y=$\sqrt{3}$x+2 $\sqrt{3}$上，

点评 本题考查一次函数的应用、反比例函数的应用、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考创新题目．