Question

【题目】已知：如图，矩形ABCD中AB=4，AD=12，点P是线段AD上的一动点（点P不与点A，D重合），点Q是直线CD上的一点，且PQ⊥BP，连接BQ，设AP=x，DQ=y．

（1）求证：△ABP∽△DPQ．

（2）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

（3）并求出当y取何值，△ABP∽△PBQ．

（4）若点Q在DC的延长线上，则x的取值范围　 　．（不必写出过程）．

Answer 1

【答案】（1）见解析 （2）y=3x﹣(0＜x＜12） （3）当y=9时．△ABP∽△PBQ （4）6﹣2＜x＜6+2

【解析】分析：（1）根据四边形ABCD是矩形和PQ⊥BP，利用两组对应角相等即可求证△ABP∽△DPQ．

（2）根据△ABP∽△DPQ．利用其对应边成比例，将已知数值代入即可得出y与x的函数关系式．根据（点P不与点A，D重合），即可求出自变量x的取值范围．

（3）假设△ABP∽△PBQ．利用其对应边成比例，解得x的值，然后将x的值代入y=3x﹣即可．

（4）根据Q在DC的延长线上可知y＞4，即3x﹣＞4，解此方程即可得出则x的取值范围．

详解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=90°，

∴∠ABP+∠APB=90°，∠PQD+∠QPD=90°．

∵PQ⊥BP，∴∠DPQ+∠APB=90°

∴∠APB=∠PQD，∴△ABP∽△DPQ；

（2）∵△ABP∽△DPQ，∴=．

∵AB=4，AD=12

∴=，即y=3x﹣．

∵AP与AD不重合，∴0＜x＜12；

答：y与x的函数关系式为：y=3x﹣；

自变量x的取值范围是：0＜x＜12；

（3）假设△ABP∽△PBQ，则=，即=，

将y=3x﹣代入上式，解得：x=6．

将x=6代入y=3x﹣，解得：y=9．

答：当y=9时，△ABP∽△PBQ；

（4）∵Q在DC的延长线上，∴y＞4，即3x﹣＞4，解此方程得6﹣2＜x＜6+2．

故答案为：6﹣2＜x＜6+2．