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【题目】如图,四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数(x>0,0<m<n)的图象上,对角线BD//y轴,且BD⊥AC于点P.已知点B的横坐标为4.

(1)当m=4,n=20时.

①若点P的纵坐标为2,求直线AB的函数表达式.

②若点P是BD的中点,试判断四边形ABCD的形状,并说明理由.

(2)四边形ABCD能否成为正方形?若能,求此时m,n之间的数量关系;若不能,试说明理由.

【答案】(1)①;②四边形是菱形,理由见解析;(2)四边形能是正方形,理由见解析,m+n=32.

【解析】

(1)①先确定出点A,B坐标,再利用待定系数法即可得出结论;
②先确定出点D坐标,进而确定出点P坐标,进而求出PA,PC,即可得出结论;
(2)先确定出B(4,),D(4,),进而求出点P的坐标,再求出A,C坐标,最后用AC=BD,即可得出结论.

(1)①如图1,

反比例函数为

时,

时,

设直线的解析式为

直线的解析式为

②四边形是菱形,

理由如下:如图2,

由①知,

轴,

是线段的中点,

时,由得,

得,

四边形为平行四边形,

四边形是菱形;

(2)四边形能是正方形,

理由:当四边形是正方形,记的交点为

,

时,

.

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