Question

【题目】问题：如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．

（发现证明）小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF＝BE+FD，请你利用图（1）证明上述结论．

（类比引申）如图（2），四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足　 　关系时，仍有EF＝BE+FD．

（探究应用）如图（3），在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD．已知AB＝AD＝80米，∠B＝60°，∠ADC＝120°，∠BAD＝150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，∠EAF＝75°且AE⊥AD，DF＝40（﹣1）米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长（结果取整数，参考数据：≈1.41，≈1.73）

Answer 1

【答案】【发现证明】见解析；【类比引申】∠BAD＝2∠EAF. 【探究应用】这条道路EF的长约为109米．

【解析】

[发现证明]根据旋转的性质可以得到△ADG≌△ABE，则GF=BE+DF，只要再证明△AFG≌△AFE即可．

[类比引申]延长CB至M，使BM=DF，连接AM，证△ADF≌△ABM，证△FAE≌△MAE，即可得出答案；

[探究应用]利用等边三角形的判定与性质得到△ABE是等边三角形，则BE=AB=80米．把△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG，只要再证明∠BAD=2∠EAF即可得出EF=BE+FD．

[发现证明]根据旋转的性质可以得到△ADG≌△ABE，则GF＝BE+DF，只要再证明△AFG≌△AFE即可．

[类比引申]∠BAD＝2∠EAF.如图（2），延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，

证△ADF≌△ABM，证△FAE≌△MAE，即可得出答案；

[探究应用]如图3，把△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG，连接AF．

∵∠BAD＝150°，∠DAE＝90°，

∴∠BAE＝60°．

又∵∠B＝60°，

∴△ABE是等边三角形，

∴BE＝AB＝80米．

根据旋转的性质得到：∠ADG＝∠B＝60°，

又∵∠ADF＝120°，

∴∠GDF＝180°，即点G在CD的延长线上．

易得，△ADG≌△ABE，

∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，DG＝BE，

又∵∠EAG＝∠BAD＝150°，∠FAE＝75°

∴∠GAF＝∠FAE，

在△GAF和△FAE中，

AG＝AE，∠GAF＝∠FAE，AF＝AF，

∴△AFG≌△AFE（SAS）．

∴GF＝EF．

又∵DG＝BE，

∴GF＝BE+DF，

∴EF＝BE+DF＝80+40（﹣1）≈109（米），

即这条道路EF的长约为109米．