Question

【题目】阅读材料：各类方程的解法：求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式.求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组.求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解.求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验.各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想转化，把未知转化为已知.用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程.例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，可得，所以x=0或x+2=0或x-1=0，所以方程：的解是x1=0，x2=-2，x3=1；

（1）问题：用“转化”思想求方程的解

（2）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=8m，宽AB=3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C.求AP的长.

Answer 1

【答案】（1）3；（2）AP=4m．

【解析】

（1）两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，注意验根；
（2）设AP的长为xm，根据勾股定理和BP+CP=10，可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，

解：（1）

方程的两边平方，得2x+3=x2，

解得x1=-1（舍去），x2=3，

当x=-1时，==1≠-1，
所以-1不是原方程的解．

所以方程的解是x=3；

（2）设AP=x，则DP=8-x，

∵BP+CP=10，

根据勾股定理：BP= ，CP=

∴

两边平方，得

整理，得

两边平方并整理，得x2-8x+16=0
即（x-4）2=0
所以x=4．
经检验，x=4是方程的解．
答：AP的长为4m．

故答案为：（1）3；（2）AP=4m．